Задача про пассажиров в лифте

[smag-anna]

Всем доброго времени суток! Помогите, пожалуйста, понять, что решено не так - не зачли злые преподаватели задачку)) В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность события А {два пассажира выйдут выше пятого этажа}.
Решала так:
Условие задачи не отрицает, что все три пассажира могут выйти на 6-7 этажах. Найдем вер-ть того, что 0 или 1 вышли на 2-5 этажах. Пусть событие а - на 2-5 этажах никто не вышел. Вер-ть для каждого пассажира составит 2/6, т.е. Р(а) = (2/6)^3=8/216=1/27
Пусть событие b - на 2-5 этажах вышел 1 пассажир. Р(b) = 3*(4/6*2/6*2/6)=48/216=6/27
События а и b независимы, значит P(A)=1-(P(a)+P(b))=1-(1/27+6/27)=20/27
Подскажите, пожалуйста, что не так в рассуждениях, где пошла не туда? Заранее благодарю за любые отзывы.

[Таланов]

Два пассажира выйдут на 6-7, а один на 2-5.

[magnus-crank]

Source of the post Условие задачи не отрицает, что все три пассажира могут выйти на 6-7 этажах. 

В таких случаях принято писать в условии типа "как минимум два пассажира". Здесь в условии такого нет, значит ровно два пасссажира.

[ARRY]

Таланов и magnus-crank абсолютно правы. Ваше же решение неверно. У Вас в условии совершенно определённо указано, что на 6-7 этажах выйдут ровно 2 пассажира, а не 1 или 3.
Типичная комбинаторная задача на принцип умножения. На мой взгляд, самый простой способ решения такой:
Для начала занумеруем пассажиров (или дадим им имена). Ведь эти трое - не клоны, они - различные люди. Всё пространство событий зададим множеством 3-хзначных чисел, у которых 1-й разряд принадлежит 1-му пассажиру , 2-й разряд - 2-му пассажиру, 3-й - третьему.Каждый разряд этого 3-хзначного числа может принимать 6 значений от 2 до 7 (по номеру этажа выхода). Например, число соответствует элементарному событию, что 1-й пассажир выходит на 2-м этаже, 2-й - на 3-м и 3-й - на 4-м. Событие означает, что 3-й пассажир выйдет на 2-м этаже, а 1-й и 2-й поедут до 7-го и т.д.
Стало быть, общее число исходов это количество 3-хзначных чисел, которые можно составить из 6 цифр. Повторения допускаются. Иными словами, это количество размещений из 6 цифр по 3. Оно равно .
А число благоприятных исходов Вы уж найдите сами, исходя из того, что один пассажир (или 1-й, или 2-й, или 3-й) вылазит до 5-го этажа, а остальные 2 разряда могут принимать только 2 значения: 6 или 7.
Ну, вроде разжевал. Заканчивайте. Об исполнении доложить.

[Andrew58]

Source of the post Таланов и magnus-crank абсолютно правы. Ваше же решение неверно. У Вас в условии совершенно определённо указано, что на 6-7 этажах выйдут ровно 2 пассажира, а не 1 или 3.

Такая ситуация встречается, к сожалению, довольно часто. Условие задачи сформулировано небрежно и может быть истолковано двояко. Претензии преподавателя, по сути, относятся к интерпретации условия задачи. Вероятность того, что толкование студента и преподавателя (при отсутствии предвзятости) совпадает, равна 0.5. 

[smag-anna]

Добрый день! Спасибо за отклик.
Число благоприятных исходов у меня получилось 16, получается m/n 16/216=2/27?

[ARRY]

Source of the post Число благоприятных исходов у меня получилось 16

Неверно. Количество благоприятных исходов равно .
Первое слагаемое - это число благоприятных исходов при условии, что до 5-го этажа выходит 1-й пассажир, второе слагаемое то же, но при условии, что выходит 2-й и т.д.
Вы не учли, что это не одинаковые красные шары, которые мы вытаскиваем из коробки. Помните, что я говорил?

Source of the post Ведь эти трое - не клоны, они - различные люди.

[Таланов]

Source of the post Два пассажира выйдут на 6-7, а один на 2-5.

Вероятность выйти каждому пассажиру на первых этажах - 2/3, на последних  -1/3. Вероятность выйти двум пассажирам во втором случае это вероятность события -  двое вышли на последних этажах, а один на первых. Эта вероятность равна 3*2/3*1/3*1/3.

[ARRY]

Таланов, можно и так, конечно. Для Вас тут всё предельно ясно, для меня - тоже, а у ТС-а возникнут вопросы. Поэтому я счёл методологически более простым дать ТС-у возможность вычислить вероятность по её классическому определению - посчитать общее число исходов и число благоприятных исходов.

"Нехай считают. Арифметика прилежных любит" (Школьный учитель К.Гаусса)

[Таланов]

Source of the post Таланов, можно и так, конечно

А мне по другому сложно. В юности прочитал книжку Пуанкоре и пользуюсь только формулами умножения и сложения вероятностей. Комбинаторику использую в крайних случаях. Сложна она для моего понимания, да и не пригодилась ещё ни разу в моей деятельности.