Среднее значение, если математическое ожидание не существует

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 19 окт 2012, 06:23

Таланов писал(а):Source of the post
Однозначно даст. Чем больше выборка, тем лучше она характеризует генеральную совокупность. А параметры сдвига и масштаба можно оценить и по выборочным квартилям.

Согласен. Тогда из-за симметрии распределения элементы выборки будут также ложиться более-менее симметрично, а среднее по выборке будет потихоньку сходиться к центру, т.е. к медиане в данном случае. Это ничему не противоречит - или матожидания по-строгому не существует или мы принимаем "условно" матожидание как главное значение интеграла.
Пример может служить ответом на исходный вопрос темы, имхо.

da67 · Сообщение **da67** » 19 окт 2012, 11:09

Andrew58 писал(а):Source of the post У меня есть выборка объемом N - это экспериментальные данные, и с ними уже ничего не поделаешь. У меня есть подозрение (и кое-какие соображения), что измеряемая величина была распределена по закону
$p(x) ~ \frac 1 {1+a(x-b)^2}$ .
Я хотел бы увеличить объем выборки, если это дает мне возможность точнее определить параметры распределения, а дает ли?

Если считать среднее арифметическое, то не даст. При более хитрой обработке (искать медиану) -- даст.

Andrew58 писал(а):Source of the post Пример может служить ответом на исходный вопрос темы, имхо.

ТС спрашивал конкретно про среднее. Ваш пример показывает, что возможен случай, когда предела не будет.
Может быть ещё хуже. В Феллере есть пример распределения, для которого сумма, делённая на $$n^2$$

имеет то же самое распределение.

Таланов

da67 писал(а):Source of the post
Andrew58 писал(а):Source of the post
Я хотел бы увеличить объем выборки, если это дает мне возможность точнее определить параметры распределения, а дает ли?

Если считать среднее арифметическое, то не даст. При более хитрой обработке (искать медиану) -- даст.

По одной выборочной медиане два параметра заданного распределения оценить невозможно. А более полный ответ был уже озвучен.

Таланов писал(а):Source of the post
Однозначно даст. Чем больше выборка, тем лучше она характеризует генеральную совокупность. А параметры сдвига и масштаба можно оценить и по выборочным квартилям.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 19 окт 2012, 19:17

da67 писал(а):Source of the post
Если считать среднее арифметическое, то не даст.

То, что интеграл (или среднее арифметическое от модуля) абсолютно расходится ничего не опровергает. Правда, то, что интеграл сходится условно тоже ничего не доказывает. Надежды на симметрию распределения остаются. Будем проводить эксперимент?

da67 · Сообщение **da67** » 19 окт 2012, 20:16

Среднее арифметическое независимых СВ, имеющих одинаковое распределение Коши, имеет то же самое распределение -- известный факт. Поэтому вычисление среднего разброс не уменьшает.

Andrew58 писал(а):Source of the post Будем проводить эксперимент?

Что именно вы хотите проверить? Может я и так соглашусь

Таланов писал(а):Source of the post По одной выборочной медиане два параметра заданного распределения оценить невозможно.

В этой теме речь только о среднем арифметическом.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 19 окт 2012, 21:00

da67 писал(а):Source of the post
Что именно вы хотите проверить? Может я и так соглашусь

Например, сгенерировать выборки распределения - 10 раз по 100, а потом посмотреть, что выйдет, если их объединить.

da67 · Сообщение **da67** » 19 окт 2012, 21:33

Интересно посмотреть
Только нужно тщательно подойти к генерации именно распределения Коши. Наверное можно попробовать начать с тангенса от равномерного.

myn · Сообщение **myn** » 19 окт 2012, 22:13

Видимо, у таких распределений среднее арифметическое просто не является состоятельной оценкой (не говоря уж о несмещенности)

т.е. ни к чему оно не будет стремиться и ничего улучшать, видимо, тоже не будет

Andrew58 писал(а):Source of the post
Как интересно... Теория вероятностей или математическая статистика - вместе не уживаются никак?

очень даже уживаются. Нужно элементарно понимать - что и для чего.. Меня просто, уж простите, коробит от такого вольного обращения с такими базовыми понятиями...

Таланов

Andrew58 писал(а):Source of the post
Например, сгенерировать выборки распределения - 10 раз по 100, а потом посмотреть, что выйдет, если их объединить.

Получится одна с 1000 элементами.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 20 окт 2012, 18:47

da67 писал(а):Source of the post
Интересно посмотреть
Только нужно тщательно подойти к генерации именно распределения Коши. Наверное можно попробовать начать с тангенса от равномерного.

Именно так и начал пробовать. Первые результаты обнадежили.

Таланов писал(а):Source of the post
Получится одна с 1000 элементами.

По дороге получится много чего И 1000 элементов - не предел, а посмотреть смоделированные гистограммы по 10,20,50,100... будет хотя бы просто интересно.

yourdomain.com