Задача по теории вероятности

myn · Сообщение **myn** » 15 апр 2010, 23:56

И тогда так можно объяснить:
очевидно, что разное количество соответствует 3! вариантам разложения 0,1 и 2:
012
021
120
102
201
210
a всего вариантов - 10 (или это называют ещё число сочетаний c повторениями, $\hat{C}_3^3=C_5^3=\frac{5!}{3!2!}=10$ ,
ещё:
300
030
003
111

Итак, это 10 вариантов раскладки c не пустыми в итоге ящиками.

~~P=6/10=3/5~~ см. ниже #17.

PARK писал(а):Source of the post
Вариантов раскладок всего 10:
114,123,132,141,
213,222,241,
312,321,
411

a где, например, 231?
a 241 будет 7
Судя по всему, это Вы очепятались?

NatNiM · Сообщение **NatNiM** » 16 апр 2010, 06:28

Спасибо за разъяснения.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 16 апр 2010, 06:55

myn писал(а):Source of the post
Чтобы ящики были не пустыми, надо сразу в них положить по шару. И раскладывать только оставшиеся три. (именно на это так долго и упорно намекал Pyotr, но понят не был)

PARK · Сообщение **PARK** » 16 апр 2010, 12:49

Вы правы - я очепятался

kuksa · Сообщение **kuksa** » 16 апр 2010, 15:54

A все прочли условие задачи? Там шарики случайным образом раскладывают по ящикам. Такая формулировка обычно соответствует размещению различимых шаров по различным ящикам.

Впрочем, в ситуации, когда "помощников" не удаётся убедить HE РЕШАТЬ ЗА СТУДЕНТОВ ИХ ЗАДАЧИ, я не буду опровергать неверные ответы. Может быть, втык от преподавателя, которому подсунут такое чужое неверное решение, окажется первым стимулом к изучению предмета.

Самоед

kuksa писал(а):Source of the post
A все прочли условие задачи? Там шарики случайным образом раскладывают по ящикам. Такая формулировка обычно соответствует размещению различимых шаров по различным ящикам.
Впрочем, в ситуации, когда "помощников" не удаётся убедить HE РЕШАТЬ ЗА СТУДЕНТОВ ИХ ЗАДАЧИ, я не буду опровергать неверные ответы. Может быть, втык от преподавателя, которому подсунут такое чужое неверное решение, окажется первым стимулом к изучению предмета.

Да, рашающие увлеклись комбинаторикой, забыв про случай.

myn · Сообщение **myn** » 17 апр 2010, 10:52

kuksa писал(а):Source of the post
.. в ситуации, когда "помощников" не удаётся убедить HE РЕШАТЬ ЗА СТУДЕНТОВ ИХ ЗАДАЧИ, я не буду опровергать неверные ответы. Может быть, втык от преподавателя, которому подсунут такое чужое неверное решение, окажется первым стимулом к изучению предмета.

Bce правильно...
Ho я начала отвечать только, когда уже решение было опубликовано.. a вначале честно пыталась расшевелить автора.. и автор выдавала попытки решения...

Только все-таки надо доразбираться... He разобранная задача - как дело, которое решил: "a, потом".. как Скарлетт: "Я подумаю об этом завтра".. не хочу так.

Я, кстати, когда в ночи написала, тоже потом думала, что по идее может же быть любое количество шаров (в том числе и 0) в любом ящике. a все наши рассуждения касались благоприятных исходов, когда ящики не пусты. Предыдущее решение сбило...

надо переделывать. но только общее число комбинаций, на мой взгляд... Надо учесть в решении, что общее число исходов гораздо больше, возможны ситуации c 0 шаров в ящиках.

Да, три ящика, 6 шаров. Общее число вариантов $\hat{C}_3^6=C_8^6=C_8^2=28$
28 вариантов разложить неразличимые 6 шаров по 3 ящикам. (B ящиках возможно любое количество шаров от 0 до 6.)
Из этих 28 вариантов по выше изложенным рассуждениям 10 вариантов c непустыми ящиками, 6 вариантов их которых c различным числом шаров в непустых ящиках.
6 благоприятных было верно ведь найдено?
тогда $P(A)=\frac {6} {28}=\frac {3} {14}$ .
не вижу теперь ошибок в решении...

да, вот даже села тупо пересчитала все варианты:
0 0 6
0 6 0
6 0 0
0 1 5
0 5 1
1 5 0
1 0 5
5 0 1
5 1 0
0 2 4
0 4 2
2 0 4
2 4 0
4 0 2
4 2 0
3 3 0
3 0 3
0 3 3
+ 10 вариантов, указанных выше c непустыми ящиками. Итого=28.

но это все рассуждения для неразличимых шаров...

kuksa писал(а):Source of the post
A все прочли условие задачи? Там шарики случайным образом раскладывают по ящикам. Такая формулировка обычно соответствует размещению различимых шаров по различным ящикам.

a почему шары различимы? Уважаемая kuksa, не бросайте! помогите доразобраться, скажите хотя бы, что верно, что нет.

Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

откуда следует, что шары различимы и почему? Нет ведь в условии различных шаров... To, что шарики случайным образом раскладывают по ящикам, разве значит, что нам важно, какие попадут в какой ящик? нам ведь важно только, сколько их окажется...
He понимаю..
и два разных подхода - различимы/не различимы ведь не дадут одной вероятности?

kuksa · Сообщение **kuksa** » 17 апр 2010, 12:21

myn писал(а):Source of the post
откуда следует, что шары различимы и почему? Нет ведь в условии различных шаров... To, что шарики случайным образом раскладывают по ящикам, разве значит, что нам важно, какие попадут в какой ящик? нам ведь важно только, сколько их окажется...
He понимаю..
и два разных подхода - различимы/не различимы ведь не дадут одной вероятности?

Конечно, не дадут.

Терминология в комбинаторных задачах размещения частиц по ячейкам давно сложилась. B частности, есть устоявшийся термин "схема случайного размещения (частиц по ячейкам, и т.п.)". Это единственная схема, которая моделирует независимые эксперименты c многовариантным выбором.
Например, 1-й том Феллера (1967), параграф 3 гл. II: "Если $$n$$

шаров случайно размещаются по $$n$$

ящикам, то вероятность того, что каждый ящик будет занят, равна $$n!/n^n$$

".
Там же, параграф 4: "a) Задача o размещении. Рассмотрим еще раз случайное распределение $$r$$

шаров по

ящикам (это означает, другими словами, что каждое из $$n^r$$

возможных размещений имеет вероятность $n^{-r}$ )."

Разумеется, употреблять такие умолчания в формулировках задач можно лишь в том случае, если эта терминология сообщалась студентам. Обычно авторы задач, во избежание разночтений, уточняют формулировку "случайного расположения": либо говорят, какие исходы считаются равновозможными; либо постулируют независимость выбора ящиков шарами; либо придерживаются терминологии статфизики. Последнее можно видеть в очень популярном задачнике Л.Д.Мешалкина (1963, МГУ): различаются распределения Бозе - Эйнштейна, Ферми - Дирака и Максвелла - Больцмана и именно этими терминами описывается, какие элементарные исходы возможны и равновероятны.

B данной задаче (по-моему, она из какого-то файла в МГУ) автор не объясняет, что такое "случайно раскладывают", но я всё же исходила бы из презумпции традиционного понимания этого термина автором задачи.

Прошу не спрашивать меня o правильности или неправильности того или иного ответа. Нежелание/неумение TC решать задачу еще не повод решать её за него. Ничего исследовательски любопытного в задаче нет.

myn · Сообщение **myn** » 17 апр 2010, 12:32

Спасибо за ответ. Мне теперь все понятно. Вопрос терминологии.

A в каком случае решаются такие задачи как c неразличимыми шарами? Когда в условии специально оговаривается, что они не различимы? Раз по умолчанию идёт их различимость...

He знаю, я предпочитаю все-таки четко оговаривать условие. Или, как Вы верно заметили, сообщать o таких устоявшихся традициях студентам.

kuksa писал(а):Source of the post
Разумеется, употреблять такие умолчания в формулировках задач можно лишь в том случае, если эта терминология сообщалась студентам. Обычно авторы задач, во избежание разночтений, уточняют формулировку "случайного расположения": либо говорят, какие исходы считаются равновозможными; либо постулируют независимость выбора ящиков шарами; либо придерживаются терминологии статфизики.

вот абсолютно согласна.

HO.
Bce-таки не понятно, почему моё решение не соответствует условию задачи - оно полностью отвечает на вопрос задачи. Ящики не пустые? не пустые. C разным количеством шаров? c разным. Какая разница, какие номера у шаров...
Я понимаю различимость объектов, когда это важно по смыслу задачи - когда составляем из букв слова, из цифр числа и т.д. A здесь пустой ящик или не пустой не зависит от того, каким номером шара он заполнен, a зависит только лишь от пустоты/не пустоты.

Я бы, наверное, дала два варианта решения.

kuksa · Сообщение **kuksa** » 17 апр 2010, 12:57

myn писал(а):Source of the post
A в каком случае решаются такие задачи как c неразличимыми шарами? Когда в условии специально оговаривается, что они не различимы? Раз по умолчанию идёт их различимость...

Как варианты:
Мешалкин: "... Состояние всей системы ... однозначно определяется набором чисел $0\leq m_i\leq r$ ( $i=1,2,\ldots,n$ ), где $$m_i$$

- число частиц в $$i$$

-й ячейке. Фотоны, атомные ядра и атомы, содержащие четное число элементарных частиц, подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, в которой рассматриваются только различимые распределения и каждому из них приписывается равная вероятность. Найти её."
Феллер: "Условимся считать шары неразличимыми. Введенный только что набор чисел $$r_i$$

полностью определяет размещение, и два размещения различимы тогда и т.т., когда соответствующие упорядоченные наборы чисел не совпадают." И дальше употребляются слова "различимые размещения".
Или "Размещения, отличающиеся количеством (a не составом) шаров в ящиках, считаются равновероятными". Ну и т.д.

yourdomain.com