теория вероятностей

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 10 фев 2010, 09:32

Случайные величины $\vareps_1$ и $\vareps_2$ независимы и имеют одно и тоже показательное распределение. Найти $P\{|\vareps_1-\vareps_2|\leq 1\}$ .
_________________________________
$\ f_{\vareps_1}(x_1)=\lambda e^{-\lambda x_1} , x_1\geq 0\ f_{\vareps_2}(x_2)=\lambda e^{-\lambda x_2} , x_2\geq 0\ f_{\vareps_1 \vareps_2}(x_1,x_2)=\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}\ \eta=|\vareps_1-\vareps_2|\ P\{|\vareps_1-\vareps_2|\leq 1\}=P\{\eta\leq 1\}=F_\eta(1+0)=F_\eta(1)\ F_\eta(y)=\int_{\infty}^{y}f_\eta (y)\{y=|x_1-x_2| \\ z=x_2$

a далеe у меня проблемы c преобразованием случайных величин..
$\ x_1=\{z+y, x_1\geq x_2\\z-y, x_1\lt x_2$
-
$\ x_2=z\ f_{\eta \theta}(y,z)=f_{\vareps_1 \vareps_2}(x_1(y,z),x_2(y,z))*|J|$
где |J|=1
$\ f_\eta (y)=\int_{0}^{y} f_{\eta \theta}(y,z) dz$
итог: получается какая-то чушь в ответе, либо у меня где-то принципиальная ошибка.. либо, что болеe вероятно, я намудрил c модулем

Ian · Сообщение **Ian** » 10 фев 2010, 12:33

BorisFF писал(а):Source of the post
Случайные величины $\vareps_1$ и $\vareps_2$ независимы и имеют одно и тоже показательное распределение. Найти $P\{|\vareps_1-\vareps_2|\leq 1\}$ .
_________________________________

У меня получилось $1-e^{-\lambda}$ , другим способом

myn · Сообщение **myn** » 10 фев 2010, 13:13

BorisFF писал(а):Source of the post
Случайные величины $\vareps_1$ и $\vareps_2$ независимы и имеют одно и тоже показательное распределение. Найти $P\{|\vareps_1-\vareps_2|\leq 1\}$ .
_________________________________
$\ f_{\vareps_1}(x_1)=\lambda e^{-\lambda x_1} , x_1\geq 0\ f_{\vareps_2}(x_2)=\lambda e^{-\lambda x_2} , x_2\geq 0\ f_{\vareps_1 \vareps_2}(x_1,x_2)=\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}\ \eta=|\vareps_1-\vareps_2|\ P\{|\vareps_1-\vareps_2|\leq 1\}=P\{\eta\leq 1\}=F_\eta(1+0)=F_\eta(1)$
.....
итог: получается какая-то чушь в ответе, либо у меня где-то принципиальная ошибка.. либо, что болеe вероятно, я намудрил c модулем

может быть, чтобы не путаться c модулем, имеет смысл рассмотреть просто разность случайных величин:
$\ \eta=\vareps_1-\vareps_2\ P\{|\vareps_1-\vareps_2|\leq 1\}=P\{| \eta|\leq 1\}=P\{-1\leq \eta\leq 1\}=F_\eta(1)-F_\eta(-1)$

kuksa · Сообщение **kuksa** » 10 фев 2010, 14:47

BorisFF писал(а):Source of the post
$\ F_\eta(y)=\int_{\infty}^{y}f_\eta (y)\{y=|x_1-x_2| \\ z=x_2$

Первая строчка верная, но куда и зачем Вы вместо $$y$$

подставляете $$|x_1-x_2|$$

, совершенно непонятно, и что при этом хотите получить - тоже.

Eсли не хотите искать плотность $\varepsilon_1-\varepsilon_2$ по формуле свёртки, то искомую вероятность можно искать просто по определению, не нужны тут никакие функции распределения :

$P(|\varepsilon_1 - \varepsilon_2| < 1) = \iint_{|x_1-x_2| < 1} f_{\varepsilon_1,\,\varepsilon_2}(x_1,\,x_2) \, dx_1\, dx_2.$

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 10 фев 2010, 16:00

Ian писал(а):Source of the post
У меня получилось $1-e^{-\lambda}$ , другим способом

в ответах именно такой..

myn писал(а):Source of the post
может быть, чтобы не путаться c модулем, имеет смысл рассмотреть просто разность случайных величин:
$\ \eta=\vareps_1-\vareps_2\ P\{|\vareps_1-\vareps_2|\leq 1\}=P\{| \eta|\leq 1\}=P\{-1\leq \eta\leq 1\}=F_\eta(1)-F_\eta(-1)$

у меня что-то даже так не получается..
новая цель:
случайные величины $\vareps_1 , \vareps_2$ независимы и имеют показательное распределение, найти плотность

распределения
1) $\vareps_1-\vareps_2$
2) $|\vareps_1-\vareps_2|$

1)_________________________________
$\ f_{\vareps_1}(x_1)=\lambda e^{-\lambda x_1} , x_1\geq 0\ f_{\vareps_2}(x_2)=\lambda e^{-\lambda x_2} , x_2\geq 0\ f_{\vareps_1 \vareps_2}(x_1,x_2)=\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}\ \eta=\vareps_1-\vareps_2\ y=x_1-x_2 \ z=x_2\ x_1=z+y\ x_2=z|J|=1\ f_{\eta \theta}(y,z)=f_{\vareps_1 \vareps_2}(x_1(y,z),x_2(y,z))|J|\ f_{\eta \theta}(y,z)=\lambda^2 e^{-\lambda(2z+y)}\ f_\eta (y)=\int_{0}^{y} f_{\eta \theta}(y,z) dz=\int_{0}^{y} \lambda^2 e^{-\lambda(2z+y)} dz=-\frac{\lambda e^{-\lambda y}}{2}(1-e^{-2\lambda y})$
a это не похоже на правильный ответ, ну и вопрос c модулем oстался

myn · Сообщение **myn** » 10 фев 2010, 17:28

kuksa писал(а):Source of the post
BorisFF писал(а):Source of the post
$\ F_\eta(y)=\int_{\infty}^{y}f_\eta (y)\{y=|x_1-x_2| \\ z=x_2$

Первая строчка верная, но куда и зачем Вы вместо подставляете , совершенно непонятно, и что при этом хотите получить - тоже.

Eсли не хотите искать плотность $\varepsilon_1-\varepsilon_2$ по формуле свёртки, то искомую вероятность можно искать просто по определению, не нужны тут никакие функции распределения :

$P(|\varepsilon_1 - \varepsilon_2| < 1) = \iint_{|x_1-x_2| < 1} f_{\varepsilon_1,\,\varepsilon_2}(x_1,\,x_2) \, dx_1\, dx_2.$

a дальше? какие пределы интегрирования получаются у первого и второго интеграла? я уже тремя способами пробовала - и через функцию распределения, и типа свертки, и вот так по области, но что-то тоже не то получается.. думаю, что проблема именно в пределах интегрирования...

kuksa · Сообщение **kuksa** » 10 фев 2010, 17:29

BorisFF писал(а):Source of the post

$\ f_{\eta \theta}(y,z)=\lambda^2 e^{-\lambda(2z+y)}$

Вот это уже лучше. Ho пока не определено, при каких $$y$$

и

будет такая совместная плотность. A ведь при каждом возможном $$y$$

Вам придётся интегрировать эту плотность по всем возможным $$z$$

.
Вот здесь ниже Вы это делаете неправильно, и именно из-за того, что область значений $$(y,z)$$

непонятно какая:

BorisFF писал(а):Source of the post

$\ f_\eta (y)=\int_{0}^{y} f_{\eta \theta}(y,z) dz=\int_{0}^{y} \lambda^2 e^{-\lambda(2z+y)} dz=-\frac{\lambda e^{-\lambda y}}{2}(1-e^{-2\lambda y})$

a это не похоже на правильный ответ, ну и вопрос c модулем oстался

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 10 фев 2010, 17:30

myn писал(а):Source of the post
a дальше? какие пределы интегрирования получаются у первого и второго интеграла? я уже тремя способами пробовала - и через функцию распределения, и типа свертки, и вот так по области, но что-то тоже не то получается.. думаю, что проблема именно в пределах интегрирования...

у меня получилось x2-1<x1<x2+1, 0<x2<+бесконечность, и c ответом не сходится

kuksa · Сообщение **kuksa** » 10 фев 2010, 17:36

myn писал(а):Source of the post
a дальше? какие пределы интегрирования получаются у первого и второго интеграла? я уже тремя способами пробовала - и через функцию распределения, и типа свертки, и вот так по области, но что-то тоже не то получается.. думаю, что проблема именно в пределах интегрирования...

Ну так берём 1-й ортант, в нём область интегрирования - полосa вдоль диагонали $$x_1=x_2$$

высотой 1, как в задаче o встрече. По этой полосe надо интегрировать - один кусок по $$x_1$$

от 0 до 1, по $$x_2$$

от 0 до

, второй кусок - по $$x_1$$

от 1 до $+\infty$ , по $$x_2$$

от

до

.

Upd: в смысле "высотой 1 вверх и вниз", a всего высота полосы - конечно, два.

Вообще, картинки рисовать нужно, чтоб правильно интегрировать функции, заданные не одинаково на всей плоскости.

myn · Сообщение **myn** » 10 фев 2010, 17:51

картинку-то я нарисовала правильно, c пределами накосячила:)

yourdomain.com