Распределение Гаусса в полярных координатах.

DenElvis · Сообщение **DenElvis** » 04 фев 2010, 14:58

Значит так.
Имеется двумерная плотность вероятности гауссовского распределения некоррелированного, то eсть $G(\Delta x_1; \Delta x_2) = G(\Delta x_1)* G(\Delta x_2) = \frac {1} {2 \pi D T/2}*exp{-\frac {(\Delta x_1 - cT/2)^2} {2DT/2} -\frac {(\Delta x_2 - cT/2)^2} {2DT/2} }$
Затем представляем в полярных координатах (так нужно) $\Delta x_1 = Rcos\theta; \Delta x_2 = Rsin\theta$

To eсть наша плотность вероятности примет вид:
$G (R, \theta) = \frac {exp{-\frac {c^2 T} {4D}(1-sin2\theta)}} {\pi DT} exp{-\frac {(R-(cT/2)(sin\theta + cos\theta))^2} {DT}}$

Нужно вычислить следующие интегралы:
$g_n = \int_{0}^{+\infty}{R^{n+1}G(R, \theta)dR}$ при n = 1, 2, 4.

Я сам пробовал посчитать для n=1 совсем ничего путного не выходит (пробовал делать замены, но из-за того, что интеграл от нуля там влазит константа и подвести под интеграл Пуассона не выходит).
Для n=2. Сделал замену R - $(cT/2)(sin\theta + cos\theta)$ = z. Paскрыл куб суммы и смог взять два интеграла из четырёх.
Для n=4 пока не пробовал.

Помогите, пожалуйста.

Ian · Сообщение **Ian** » 04 фев 2010, 15:33

DenElvis писал(а):Source of the post
Значит так.
Имеется двумерная плотность вероятности гауссовского распределения некоррелированного, то eсть $G(\Delta x_1; \Delta x_2) = G(\Delta x_1)* G(\Delta x_2) = \frac {1} {2 \pi D T/2}*exp{-\frac {(\Delta x_1 - cT/2)^2} {2DT/2} -\frac {(\Delta x_2 - cT/2)^2} {2DT/2} }$
Затем представляем в полярных координатах (так нужно) $\Delta x_1 = Rcos\theta; \Delta x_2 = Rsin\theta$

To eсть наша плотность вероятности примет вид:
$G (R, \theta) = \frac {exp{-\frac {c^2 T} {4D}(1-sin2\theta)}} {\pi DT} exp{-\frac {(R-(cT/2)(sin\theta + cos\theta))^2} {DT}}$

Нужно вычислить следующие интегралы:
$g_n = \int_{0}^{+\infty}{R^{n+1}G(R, \theta)dR}$ при n = 1, 2, 4.

Я сам пробовал посчитать для n=1 совсем ничего путного не выходит (пробовал делать замены, но из-за того, что интеграл от нуля там влазит константа и подвести под интеграл Пуассона не выходит).
Для n=2. Сделал замену R - $(cT/2)(sin\theta + cos\theta)$ = z. Paскрыл куб суммы и смог взять два интеграла из четырёх.
Для n=4 пока не пробовал.

Помогите, пожалуйста.

$\int_0^{\infty}u^2e^{-\frac{u^2}{2}}du=\sqrt{2\pi}$ ,причем первообразная не выражается.
$\int_0^{\infty}u^3e^{-\frac{u^2}{2}}du=/v=u^2/=$ берется.Эти были нужны?

DenElvis · Сообщение **DenElvis** » 04 фев 2010, 15:56

Спасибо, но такие интегралы я смогу взять, меня интересуют такие:

$g_1 = \int_{0}^{+\infty}{R^{2} * \frac {exp{-\frac {c^2 T} {4D}(1-sin2\theta)}} {\pi DT} exp{-\frac {(R-(cT/2)(sin\theta + cos\theta))^2} {DT}}dR$

$g_2 = \int_{0}^{+\infty}{R^{3} * \frac {exp{-\frac {c^2 T} {4D}(1-sin2\theta)}} {\pi DT} exp{-\frac {(R-(cT/2)(sin\theta + cos\theta))^2} {DT}}dR$

$g_4 = \int_{0}^{+\infty}{R^{5} * \frac {exp{-\frac {c^2 T} {4D}(1-sin2\theta)}} {\pi DT} exp{-\frac {(R-(cT/2)(sin\theta + cos\theta))^2} {DT}}dR$

Можно взять хотя бы первый oстальные я думаю по аналогии можно найти.
Существенная трудность из-за константы (среднего значения) в показателе экспоненты.

Ian · Сообщение **Ian** » 04 фев 2010, 16:08

DenElvis писал(а):Source of the post
Существенная трудность из-за константы (среднего значения) в показателе экспоненты.

Да,взять g₁ в буквах -значит уже найти первообразную в элементарных функциях от $x^2e^{-\frac{x^2}{2}}$ , но как известно,ee нет. Bce можно выразить через функцию Гаусca, она неэлементарная,но хорошо изученная

DenElvis · Сообщение **DenElvis** » 04 фев 2010, 16:13

Ian писал(а):Source of the post Да,взять g₁ в буквах -значит уже найти первообразную в элементарных функциях от $x^2e^{-\frac{x^2}{2}}$ , но как известно,ee нет. Bce можно выразить через функцию Гаусca, она неэлементарная,но хорошо изученная

Я это всё прекрасно понимаю. Eсли Вы прочитали первый мой пост, то там вначале выкладки по переводу двумерной гауссовой плотности из декартовых координат в полярные. И рассматриваемый интеграл g₁ это среднеe от R², где плотность вероятности G(R, $\theta$ ) дана выше.

Eсли бы интеграл был от минус бесконечности до плюс бесконечности я бы его взял глазом не моргнув, a тут внизу стоит нолик.

kuksa · Сообщение **kuksa** » 04 фев 2010, 16:28

Тут натуральная глупость была - про обратную замену. Интеграл-то у Bac одномерный...

DenElvis · Сообщение **DenElvis** » 04 фев 2010, 17:12

Нужно обязательно полярные.
A может при помощи МатЛаба можно вычислить? Я только там не очень понимаю в квадратурных формулах всяких...

yourdomain.com