нахождение плотности распределения вероятностей

Dini · Сообщение **Dini** » 11 авг 2009, 18:59

Помогите, пожалуйста:
Дана плотность распределения вероятностей системы (X, Y):
p(x,y)=1/6 в треугольнике O(0,0), A(-3,0), B(-3,4); 0 - в остальных точках.
необходимо найти p(y) ( $p(y)=\int_{-\infty}^{\infty}{p(x,y)dx}$ ).
не могу определиться c пределами интегрирования:
$p(y)=\int_{0}^{-3/4y}{1/6dx}$ или $p(y)=\int_{-3/4y}^{0}{1/6dx}$ ? или я вообще ошибаюсь?
и еще вопрос: p(y) при подстановке значений y может же быть только неотрицательным?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 11 авг 2009, 19:26

Плотность вероятности неотрицательна.

A интегралы выглядят несколько иначе:

$\int_{0}^{4}{\int_{-3}^{-\frac{3}{4}y}\rho(x,y)dx dy}=1$
и
$\int_{-3}^{0}{\int_{0}^{-\frac{4}{3}x}\rho(x,y)dy dx}=1$

Dini · Сообщение **Dini** » 11 авг 2009, 19:42

Wild Bill писал(а):Source of the post
Плотность вероятности неотрицательна.

A интегралы выглядят несколько иначе:

$\int_{0}^{4}{\int_{-3}^{-\frac{3}{4}y}\rho(x,y)dx dy}=1$
и
$\int_{-3}^{0}{\int_{0}^{-\frac{4}{3}x}\rho(x,y)dy dx}=1$

поясните, пожалуйста, почему так эти интегралы находятся.
Просто в методичке, по которой я делаю задание, предлагаются следующие формулы:
$p1(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{p(x,y)dy}$
$p2(y)=\int_{-\infty}^{\infty}{p(x,y)dx}$ ,
где p1(x) и p2(y) - плотности распределения случайных величин X и Y

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 11 авг 2009, 19:55

Это просто матанализ... Если функция равна нулю везде, кроме ограниченной области, то мы можем интегрировать не по всему пространству, a только по этой области.

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 11 авг 2009, 20:06

Это просто матанализ... Если функция равна нулю везде, кроме ограниченной области, то мы можем интегрировать не по всему пространству, a только по этой области.

Рассмотрим интеграл
$\int_{0}^{4}{\int_{-3}^{-\frac{3}{4}y}\rho(x,y)dx dy}=1$
т.e.
$1 = \int_{0}^{4}\rho(y)dy$

Здесь нужен бы рисунок Вашей области, но и так ясно... Y изменяется от 0 до 4, что мы и указываем во "внешнем" интеграле. Теперь мы должны рассмотреть как при этом изменяется X, чтобы не выйти за пределы области (там функция равна 0, a не 1/6!). При Y = 0 изменение Х происходит от -3 до 0, при остальных значениях Y изменение Х происходит тоже от -3. Значит, это нижний предел для "внутреннего" интеграла. Теперь найдём верхний предел... Это просто уравнение прямой, которая ограничевает область сверху $$x = -3/4 y$$

. Окончательно получаем
$\rho(y) = \int_{-3}^{-\frac{3}{4}y}\rho(x,y)dx$

Dini · Сообщение **Dini** » 12 авг 2009, 05:04

Wild Bill писал(а):Source of the post
Это просто матанализ... Если функция равна нулю везде, кроме ограниченной области, то мы можем интегрировать не по всему пространству, a только по этой области.

Рассмотрим интеграл
$\int_{0}^{4}{\int_{-3}^{-\frac{3}{4}y}\rho(x,y)dx dy}=1$
т.e.
$1 = \int_{0}^{4}\rho(y)dy$

Здесь нужен бы рисунок Вашей области, но и так ясно... Y изменяется от 0 до 4, что мы и указываем во "внешнем" интеграле. Теперь мы должны рассмотреть как при этом изменяется X, чтобы не выйти за пределы области (там функция равна 0, a не 1/6!). При Y = 0 изменение Х происходит от -3 до 0, при остальных значениях Y изменение Х происходит тоже от -3. Значит, это нижний предел для "внутреннего" интеграла. Теперь найдём верхний предел... Это просто уравнение прямой, которая ограничевает область сверху . Окончательно получаем
$\rho(y) = \int_{-3}^{-\frac{3}{4}y}\rho(x,y)dx$

спасибо, теперь поняла, a я брала почему-то в качестве нижнего предела 0, a не -3. поэтому и получались в итоге глупости в виде отрицательных значений плотности распределения или коэффициента корреляции больше единицы

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 12 авг 2009, 09:58

Сам не сходу сообразил...

yourdomain.com