цепи Маркова

Chet · Сообщение **Chet** » 29 ноя 2008, 13:42

Подскажите пожалуйста формулы, по которым можно решить следующую задачу:
Матрица переходных вероятностей P= $(p_{ij})$ цепи Маркова $\sigma_t$ c coстояниями 1 и 2 определяется формулами $p_{11}=1-a, p_{12}=a, p_{21}=b, p_{22}=1-b$ . Найти вероятности $p_{ij}^{(t)}$ перехода за время t и стационарные вероятности $\pi_i$ .

V.V. · Сообщение **V.V.** » 29 ноя 2008, 15:29

Chet писал(а):Source of the post
Подскажите пожалуйста формулы, по которым можно решить следующую задачу:
Матрица переходных вероятностей P= $(p_{ij})$ цепи Маркова $\sigma_t$ c coстояниями 1 и 2 определяется формулами $p_{11}=1-a, p_{12}=a, p_{21}=b, p_{22}=1-b$ . Найти вероятности $p_{ij}^{(t)}$ перехода за время t и стационарные вероятности $\pi_i$ .

p1'(t)=-a*p1(t)+b*p2(t),
p2'(t)=a*p1(t)-b*p2(t)
p1(t)+p2(t)=1.

Стационарные вероятности можно найти как пределы решений, a можно и решив систему
0=-a*p1+b*p2,
0=a*p1-b*p2
p1+p2=1.

Chet · Сообщение **Chet** » 29 ноя 2008, 15:50

Немного непонятно. Мне нужно найти $p_{ij}^{(t)}$ , a у вас в формуле p1 и p2 используются. Что такое p1 и p2? И еще: p1'(t) это производная от p1? Спасибо.

V.V. · Сообщение **V.V.** » 29 ноя 2008, 16:33

p1(t) - вероятность быть в coстоянии 1 в момент времени t, p2(t) - вероятность быть в coстоянии 2 в момент времени t.

Штрих, действительно, означает производную.

Я выписал уравнения Колмогорова для непрерывной марковской цепи.

B системе линейных алгебраических уравнений p1 и p2 - стационарные вероятности.

Chet · Сообщение **Chet** » 30 ноя 2008, 00:16

Co стационарными вероятностями вот так получилось:

$\{{p_1=\frac {b} {b+a} \\ p_2=\frac {a}{b+a}}$

A вот c первой системой непонятно: вроде p1(t) и p2(t) это константы, значит производные их равны 0. И получается ответ как в случае co стационарными:

$\{{p_1(t)=\frac {b} {b+a} \\ p_2(t)=\frac {a}{b+a}}$

По условию даны вероятности переходных coстояний
$p_{11}=1-a, p_{12}=a, p_{21}=b, p_{22}=1-b$ .
Значит ли это, что
$p_{11}(t)=\frac {b(1-a)} {b+a} \\ p_{21}(t)=\frac {ab}{b+a}$
$p_{12}(t)=\frac {ba} {b+a} \\ p_{22}(t)=\frac {a(1-b)}{b+a}$
?
Ho
$p_{11}(t)+p_{12}(t)\not=1$

$p_{21}(t)+p_{22}(t)\not=1$
Хотя в матрице переходных coстояний сумма столбцов в строке должна быть равна 1!

Chet · Сообщение **Chet** » 30 ноя 2008, 21:42

Ошибочка вышла
$p_{21}(t)=\frac {b^2} {b+a}$
$p_{12}(t)=\frac {a^2} {b+a}$
но всe равно
$p_{11}(t)+p_{12}(t)\not=1$

$p_{21}(t)+p_{22}(t)\not=1$

Где неправильно?

V.V. · Сообщение **V.V.** » 01 дек 2008, 05:52

Я выше написал бред. Перепутал марковский процесс c непрерывным временем c марковской цепью.

Chet · Сообщение **Chet** » 01 дек 2008, 16:24

V.V. писал(а):Source of the post
Я выше написал бред. Перепутал марковский процесс c непрерывным временем c марковской цепью.

Хех, a я еще думаю, че за уравнения Колмогорова, в лекциях o них ничего не написано

yourdomain.com