Сигма-алгебра

bonaqua · Сообщение **bonaqua** » 07 июл 2014, 19:23

1) В чем отличие сигмы-алгебры от минимальной сигмы-алгебры?
2) В чем суть порожденной сигмы-алгебры?

Ian · Сообщение **Ian** » 07 июл 2014, 21:56

Как только возникают сомнения в определении, иду в википедию. Если окажется что там неудовлетворительно описано -быстро поправят. В общем это как телевышка, хороша или не очень-ее видят все и отовсюду. [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра]http://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра[/url].
Видим, что
1) Это определение из теорвера/функана, а не из алгебры (хотя по названию можно и тут оставить)
2)Минимальная - определяется относительно данной системы множеств. Например, Сигма-алгебра борелевских множеств на отрезке -минимальная относительно системы пересечений всевозможных интервалов с данным отрезком
3) Порожденная -случайной величиной. Например для дискретной случайной величины это подмножества пространства элементарных событий Х, а не действительной прямой. Элементарные события "эквивалентны", если случайная величина на них одинакова. И значит, в каждый элемент сигма- алгебры, порожденной ДСВ, каждое элементарное событие входит или не входит вместе со всеми эквивалентными. Тем не менее, в упрощенном курсе теорвера предпочитают задавать случайную величину , и не выделяя пространства элементарных событий, задав лишь интегральную функцию распределения. Это чтоб не было вопросов почему и что такое $\xi : X\to\mathbb{R}$ . Это задание случайной величины "от практики", а не абстрактно. Например, в игре орлянка на разорение Х- множество всех возможных по правилам игры последовательностей бит ,и можно взять $\xi : X\to\mathbb{R}$ -выигрыш 1го игрока, вычисляемый по этой последовательности.

bonaqua · Сообщение **bonaqua** » 08 июл 2014, 10:14

Более или менее понял. Если Вас не затруднит, можете привести хороший пример отличающий минимальную сигма-алгебру от обычной?

Ian · Сообщение **Ian** » 08 июл 2014, 12:50

bonaqua писал(а):Source of the post
2)Минимальная - определяется относительно данной системы множеств. Например, Сигма-алгебра борелевских множеств на отрезке -минимальная относительно системы пересечений всевозможных интервалов с данным отрезком

..Если Вас не затруднит, можете привести хороший пример отличающий минимальную сигма-алгебру от обычной?

Затруднит.Т.к этот цитируемый и есть лучший и типичный(.Борелевские множества -это как раз то, что можно получить из интервала, применяя нужное число раз операции дополнения, не более чем счетных объединений и пересечений. По построению получается, что борелевских континуум. А всех измеримых множеств $$2^c$$

-как множество подмножеств континуума, отсюда делаем вывод что сигма -алгебра измеримых множеств не минимальна относительно системы всех интервалов

yourdomain.com