Среднее квадратическое отклонение

Kactus · Сообщение **Kactus** » 03 ноя 2012, 03:06

Задача у меня такая:
Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, среднее квадратичное отклонение, исправленную выборочную дисперсию для выборки с данным статистическим распределением:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline {x_i} & 2 & 5 & 7 & 10 \\ \hline {n_i} & 16 & 12 & 8 & 14 \\ \hline \end{array}$
так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то вычисляю математическое ожидание
$M(X)=2\cdot16+5\cdot12+7\cdot8+10\cdot14=288$
по формуле дисперсия
$$D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2$$

закон распределения X²
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline {X^2_i} & 4 & 25 & 49 & 100 \\ \hline {n_i} & 16 & 12 & 8 & 14 \\ \hline \end{array}$
$M(X^2)=4\cdot16+25\cdot12+49\cdot8+100\cdot14=2156$
отсюда
$$D(X)=2156-288^2=-80788$$

А среднее квадратическое отклонение
$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{80788}\approx284,232$
Меня "смущает" знак "минус" перед 80788. Дисперсия может же быть отрицательна? Только, вот как из неё, отрицательной, корень извлечь для нахождения среднего квадротического?

Таланов

Kactus писал(а):Source of the post
так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то вычисляю математическое ожидание
$M(X)=2\cdot16+5\cdot12+7\cdot8+10\cdot14=288$

И всё это следует разделить на
$\sum_{i=1}^{4}{n_i}$
Для второго момента тоже.

Kactus · Сообщение **Kactus** » 03 ноя 2012, 03:37

$M(X)=\frac {2\cdot16+5\cdot12+7\cdot8+10\cdot14} {16+12+8+14}=5,76$
$M(X^2)=\frac {4\cdot16+25\cdot12+49\cdot8+100\cdot14} {16+12+8+14}=43,12$
$$D(X)=43,12-33,1776=9,9424$$

$\sigma(X)=\sqrt{9,9424}\approx3,153$
теперь верно?

Таланов

Kactus писал(а):Source of the post
$M(X)=\frac {2\cdot16+5\cdot12+7\cdot8+10\cdot14} {16+12+8+14}=5,76$
$M(X^2)=\frac {4\cdot16+25\cdot12+49\cdot8+100\cdot14} {16+12+8+14}=43,12$

$\sigma(X)=\sqrt{37,36}\approx6,112$
теперь верно?

Нет. Нужно отнимать квадрат матожидания.

Kactus писал(а):Source of the post

$\sigma(X)=\sqrt{9,9424}\approx3,153$
теперь верно?

Теперь верно.

Kactus · Сообщение **Kactus** » 03 ноя 2012, 03:50

а как с выборочной средней к этой задаче?
она равна
$\bar x_B=\frac {\sum_{i=1}^{k}{n_ix_i}} {n}=5,76$
опять неверно считаю?

СергейП

Kactus писал(а):Source of the post а как с выборочной средней к этой задаче?
она равна
$\bar x_B=\frac {\sum_{i=1}^{k}{n_ix_i}} {n}=5,76$
опять неверно считаю?

Верно, оно равно мат. ожиданию.
Но ещё не вычислена исправленная выборочная дисперсия - она равна выборочной дисперсии умноженной на $\frac n{n-1}$

Kactus · Сообщение **Kactus** » 03 ноя 2012, 04:15

СергейП писал(а):Source of the post
Но ещё не вычислена исправленная выборочная дисперсия - она равна выборочной дисперсии умноженной на $\frac n{n-1}$

выборочная дисперсия равна
$D_B=\frac {\sum_{}^{}{(x_i-\bar x_B)^2}} {n}=\frac {(2-5,76)^2+(5-5,76)^2+(7-5,76)^2+(10-5,76)^2} {50}\approx0,685$

Таланов

СергейП писал(а):Source of the post
Kactus писал(а):Source of the post а как с выборочной средней к этой задаче?
она равна
Верно, оно равно мат. ожиданию.

Не равно конечно.

Kactus писал(а):Source of the post
выборочная дисперсия равна
$D_B=\frac {\sum_{}^{}{(x_i-\bar x_B)^2}} {n}=\frac {(2-5,76)^2+(5-5,76)^2+(7-5,76)^2+(10-5,76)^2} {50}\approx0,685$

Не правильно, квадраты разностей должны быть умножены на соответствующие веса. К тому же вы уже нашли выборочную дисперсию.

Kactus · Сообщение **Kactus** » 03 ноя 2012, 04:39

Таланов писал(а):Source of the post
Не правильно, квадраты разностей должны быть умножены на соответствующие веса. К тому же вы уже нашли выборочную дисперсию.

так и хочется посмотреть на эти разбегающиеся цаферки и спросить: "Кто из вас выборочная дисперсия?!!"
шутка, конечно, но я разберусь...

$D_B=\frac {\sum_{}^{}{n_i(x_i-\bar x_B)^2}} {n}=\frac {16(2-5,76)^2+12(5-5,76)^2+8(7-5,76)^2+14(10-5,76)^2} {50}$

Таланов писал(а):Source of the post
Не правильно, квадраты разностей должны быть умножены на соответствующие веса. К тому же вы уже нашли выборочную дисперсию.

Чем же тогда отличается дисперсия от выборочной дисперсии?

Таланов

Kactus писал(а):Source of the post
Чем же тогда отличается дисперсия от выборочной дисперсии?

Дисперсия - это параметр генеральной совокупности. Выборочная дисперсия - это оценка этого параметра по имеющимся выборочным данным.

yourdomain.com