задача на теорию вероятности

tennisru · Сообщение **tennisru** » 06 янв 2012, 09:43

Задача
Дано N видов тушенки N >= 6 ,
Из них 0 ≤ K ≤ N просрочены и вы не знаете, какие именно (но знаете K). Вы с 29 друзьями идете в поход и покупаете 6 ящиков тушенки на всех (включая вас). Внутри каждого ящика 10 банок тушенки, все одинакового сорта. Сорта ящиков вы выбираете случайно, все ящики разного сорта. Каждый из вас съест в походе по две банки тушенки (все 60 банок распределятся между 30 людьми случайным образом) и если обе будут просрочены, то ему будет плохо. Выведите вероятность того, что никому не будет плохо.

я думаю : вероятность что возьмем отравленый ящик K / N, вероятность что возьмем отравленные ящики будет (6 / N) * (K / N) , но как дальше?

дальше может быть считать вероятность того что один человек возьмет две банки (из всех уже имеющих
просроченный), надо считать именно для одного , так как вероятность для двух человек , которые взяли будет меньше этой, что логично. Но как это все соединить?

Ian · Сообщение **Ian** » 06 янв 2012, 10:25

Тут два последовательных события 1) покупка 2)дележи на месте, напрашивается упростить условие с помощью формулы полной вероятности.
Вероятность что у них окажется i плохих ящиков, $C^i_kC^{6-i}_{n-k}$ , далее при i>3 шансов у них нет, остается посчитать при i=1,2,3 ящика на месте, т.е. при 10,20,30 плохих банках. При 30 это просто, а при 10 и 20 надо подумать...

Ну вот например найду отдельно $$P$$

при 10 плохих банках из 60. Случайное распределение банок по людям представим так: люди занумерованы и на каждого, для строгости, приходится номер первой съеденной банки и номер второй. Тогда всего случаев $$60!$$

, благоприятных -это (все 10 попались разным людям $C^{10}_{30}$ вариантов)*(каждому из 10 она могла попастся как 1я или как 2я, $2^{10}$ )*( $$10!$$

упорядочений плохих банок)* ( $$50!$$

упорядочений хороших банок)
$\displaystyle P=\frac{C^{10}_{30}2^{10}10!50!}{60!}=\frac{C^{10}_{30}*2^{10}}{C^{10}_{60}}$ ,
но сразу перейти к $C^{10}_{60}$ как "общему числу вариантов дележа" показалось мне неубедительным
tennisru, Вы пишите, что понятно, а что не очень.

tennisru · Сообщение **tennisru** » 06 янв 2012, 17:22

вычисляем все i <=3 то мы должны производить для него каждого $Изображение$ эту формулу, а затем искать из них минимальное ? (или как?)

Это мы получается найдем для кадого i свое P(тогда придется делать максимум 3 расчета с факториалами)? Это займет слижком много времени (ассимпотически(при больших вводимых числах)).

Мое рассуждение неверно, что достаточно вычислить вероятность того что у одного человека будет 2 зараженных банки?(тогда бы делали один расчет)

Ian · Сообщение **Ian** » 06 янв 2012, 19:42

tennisru писал(а):Source of the post
вычисляем все i <=3 то мы должны производить для него каждого $Изображение$ эту формулу, а затем искать из них минимальное ? (или как?)

Понятно.ФПВ не изучали. Кратко изложу. События "число плохих яшиков равно i" образуют полную систему непересекающихся событий . Случилось стечение обстоятельств что горе - туристу поплохело, начинаем копать: а каково же было i .Вероятность"поплохело"=Вероятность"поплохело и i=1"+...+Вероятность"поплохело и i=6". Вот именно эти слагаемые и ищем. Каждое ищем в виде произведения вероятности что i, равной $C^i_kC^{6-i}_{n-k}$ , на условную вероятность что случится плохо при данном числе плохих ящиков i. Это и называется "вычислять по формуле полной вероятности(ФПВ)", студентов всех этому тренируют, даже вроде каких-то будущих бухгалтеров.

Это мы получается найдем для кадого i свое P(тогда придется делать максимум 3 расчета с факториалами)? Это займет слижком много времени (ассимпотически(при больших вводимых числах)).

Да хоть в excel есть функция БИНОМ(), сразу выдаст $$C^m_n$$

Мое рассуждение неверно, что достаточно вычислить вероятность того что у одного человека будет 2 зараженных банки?(тогда бы делали один расчет)

Неверно. Тут нельзя считать по среднему. А так выйдет, что если в походе их 300 и ящиков 60, вероятность что ничего не случится, такая же. А она намного меньше

tennisru · Сообщение **tennisru** » 06 янв 2012, 21:34

то есть наша Вероятность"поплохело= $Изображение$ * $Изображение$ . . . для каждого i<=3 ?

Это займет слижком много времени (ассимпотически(при больших вводимых числах))

я имел ввиду, что программа будет работать, явно больше секунды (хотелось немного быстрей)

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 06 янв 2012, 22:32

Для решения этой задачи можно воспользоваться статистическим определением вероятности, то есть провести достаточно большое число натурных экспериментов.

tennisru · Сообщение **tennisru** » 07 янв 2012, 10:41

проовал подставить N=10 и K=1 (и как счиать для этого числа первый множитель $Изображение$ при различных i )должно получится 0.15951238, у меня получалось число намного больше 1(вероятность же должна быть меньше 1 всегда) или что то в конце нужно сделать с ФПВ?
если можете кратенько проделать вычисление для каких нибудь небольших числах

Ian · Сообщение **Ian** » 07 янв 2012, 22:05

Взял n=20,k=4, выживаемость при i=2 безобразная, при i=1 ничего нормально,еще может быть i=0 c вероятностью 20,66%, ну и при i=3 шансов почти нет. Итого все в порядке с 39% вероятности
Вот я Вам распишу пока время есть всю ФПВ:
$\displaystyle \\P(+)=P(i=3)P(+|i=3)+P(i=2)P(+|i=2)+P(i=1)P(+|i=1)+P(i=0)P(+|i=0)=\\=\frac{C^3_kC^3_{N-k}}{C^6_N}\frac{2^{30}}{C^{30}_{60}}+\frac{C^2_kC^4_{N-k}}{C^6_N}\frac{C^{20}_{30}2^{20}}{C^{20}_{60}}+\frac{C^1_kC^5_{N-k}}{C^6_N}\frac{C^{10}_{30}2^{10}}{C^{10}_{60}}+C^6_{N-k}*1=\\=\varepsilon+0,00508+0,18395+0,206604747\sim 0,395$
Последняя строчка относится к частному случаю k=4 N=20

yourdomain.com