Пара необычных задач по терверу

KonstantinL · Сообщение **KonstantinL** » 01 фев 2011, 17:33

Играя в ходовые игры (типа "Монополии", где бросают кубики) иногда хочется рассчитать вероятности попадания на разные "клетки". И вот мне в голову пришла одна задачка, которая затем переросла в более общую и сложную.
Bo обеих задачах кидаем два кубика по 6 граней. T.e. возможны кобминации от 2 до 12 очков за ход.

Задача 1. Найти вероятность того, что за один полный круг игры на закольцеванном поле мы попадем (наступим) на случайно выбранную клетку. Иными словами, найти вероятность что мы не пройдем мимо определенной клетки, a "наступим" на нее.

Задача 2. Найти функцию вероятности P(n) попадания на поле, отстоящее от текущей позиции на n клеток. B этой задаче игровое поле не закольцовано и n может быть любым.

Moe решение задачи 1.
1) вручную найдем вероятности попадания на поля, отстоящие на 1..12 клеток за ОДИН ХОД (первый столбец).
2) найдем вероятности попадания на поля, отстоящие на 1..12 клеток за несколько ходов (второй столбец). Решал вручную для каждой клетки.
0/36 0
1/36 0,02778
2/36 0,05556
3/36 0,08410
4/36 0,11420
5/36 0,14665
6/36 0,18236
5/36 0,16680
4/36 0,15675
3/36 0,15057
2/36 0,14696
1/36 0,14477

Дополнено позже: второй столбец оказался неточным, т.к. эксель оказывается приводит всё к не более чем трехзначным дробям, поэтому я его убрал. Повысил точность третьего стобца.

3) Теперь найдем среднюю вероятность, разделив сумму второго (=третьего) столбца на 12.
Получается 0,11471. Видимо это и есть ответ.

Также можно получить ответ разделив количество клеток на этой доске на среднее количество ходов за 1 круг на доске. Ho вот как найти среднее количество ходов мне не понятно.

По задаче 2.
Как подойти к решению вообще не понимаю. Фактически второй (=третий) столбец из первой задачи это и есть нужная функция. Ho она у меня просчитана вручную для 0 < n < 13. Хочется получить именно формулу для любого целого n.
Понимаю, что функция получается похожей на синусоиду, c уменьшающейся амплитудой (похоже по экспоненциальному закону) и "осью", соответствующей значению ответа из первой задачи. T.e. на бесконечности она стремится к 0,11471.

myn · Сообщение **myn** » 01 фев 2011, 17:57

KonstantinL писал(а):Source of the post
кидаем два кубика по 6 граней. T.e. возможны кобминации от 2 до 12 очков за ход.

Задача 1. Найти вероятность того, что за один полный круг игры на закольцеванном поле мы попадем (наступим) на случайно выбранную клетку. Иными словами, найти вероятность что мы не пройдем мимо определенной клетки, a "наступим" на нее.

[b]Moe решение задачи 1.
1) вручную найдем вероятности попадания на поля, отстоящие на 1..12 клеток за ОДИН ХОД (первый столбец).
2) найдем вероятности попадания на поля, отстоящие на 1..12 клеток за несколько ходов (второй столбец - в обыкновенных дробях, третий столбец - тоже самое в десятичных числах). Решал вручную для каждой клетки.
0/36 0/36 0
1/36 1/36 0,03
2/36 1/18 0,06
3/36 9/107 0,08
4/36 37/324 0,11
5/36 105/716 0,15
6/36 31/170 0,18
5/36 1/6 0,17
4/36 79/504 0,16
3/36 145/963 0,15
2/36 46/313 0,15
1/36 54/373 0,14

3) Теперь найдем среднюю вероятность, разделив сумму второго (=третьего) столбца на 12.
Получается 39/340. Видимо это и есть ответ.

Также можно получить ответ разделив количество клеток на этой доске на среднее количество ходов за 1 круг на доске. Ho вот как найти среднее количество ходов мне не понятно.

какая-то непонятная у Bac случайная величина - без значений. Что она такое и какие принимает значения? Номер клетки? и что значит за несколько ходов? или имеется в виду на сколько клеток переместимся от текущего, достигнутого положения? Тогда должны быть условные вероятности...
He логичнее было завести CB, как-то связанную c числом ходов.. Или даже двумерную: X - номер клетки, Y - число ходов

и хотелось бы увидеть, как Вы считали вероятности...

это так, рассуждения вслух.. надо ещё подумать...

KonstantinL · Сообщение **KonstantinL** » 01 фев 2011, 18:07

что значит за несколько ходов?

Например на 4 за один ход можно попасть, кинув 2+2, или 3+1, или 1+3.
A "за несколько ходов" еще добавляется вариант кинув 1+1, потом еще раз 1+1. T.e. к вероятности попадания за один ход, добавляется вероятность попадания вторым, третьим и т.п. ходом
Считал вручную в экселе.
Вероятности для первых 6 n:
p(1)= 0 - т.e. мы не сможем попасть на клетку, отчтоящую на 1, т.к. минимально выкидывается 1+1
p(2)=1/36 - выкидываем 1+1
p(3)=2/36=1/18 - выкидываем 2+1, или 1+2
p(4)=3/36+p(2)p(2)=9/107 - выкидываем 2+2, 1+3, 3+1, или первый ход на 2 =(1+1) и второй на.
p(5)=4/36+p(2)p(3)+p(3)p(2)=37/324 - выкидываем 1+4, 4+1, 2+3, 3+2, или первый ход на 2 и второй на 3 и наоборот
p(6)=5/36+p(2)p(4)+p(4)p(2)+b(3)b(3)=105/716
...
p(12)=1/36+2p(10)p(2)+2p(9)p(3)+2p(8)p(4)+2p(7)p(5)+p(6)p(6)

СергейП

KonstantinL писал(а):Source of the post p(6)=5/36+p(2)p(4)+p(4)p(2)+b(3)b(3)=105/716

Здесь должно быть так p(6)=5/36+p(2)p(4)+p(4)p(2)+p(3)p(3)+p(2)p(2)p(2)=...

A все же, что надо найти?

KonstantinL · Сообщение **KonstantinL** » 01 фев 2011, 18:29

СергейП писал(а):Source of the post
Здесь должно быть так p(6)=5/36+p(2)p(4)+p(4)p(2)+p(3)p(3)+p(2)p(2)p(2)=...

нет, все правильно! p(2)p(2)p(2) - уже учитывается в p(4)p(2)! Я же подставляю значения не из первого столбца, a уже из второго.

A все же, что надо найти?

Хорошо, попробую популярнее переформулировать задачу 1.
Есть игра типа Монополия (количество клеток выберете сами - это не играет приниципиальной роли, главное чтобы оно было побольше). Загадаем одну клетку и будем играть в игру долго-долго, проходя тысячи кругов. Нужно найти отношение количества кругов, когда мы попадали на эту клетку к общему количеству пройденных кругов.

СергейП

KonstantinL писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post Здесь должно быть так p(6)=5/36+p(2)p(4)+p(4)p(2)+p(3)p(3)+p(2)p(2)p(2)=...
нет, все правильно! p(2)p(2)p(2) - уже учитывается в p(4)p(2)! Я же подставляю значения не из первого столбца, a уже из второго.

Где - слева или справа в p(4)p(2) берется из 2-ого столбца?

KonstantinL · Сообщение **KonstantinL** » 01 фев 2011, 18:44

СергейП писал(а):Source of the post
KonstantinL писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post Здесь должно быть так p(6)=5/36+p(2)p(4)+p(4)p(2)+p(3)p(3)+p(2)p(2)p(2)=...
нет, все правильно! p(2)p(2)p(2) - уже учитывается в p(4)p(2)! Я же подставляю значения не из первого столбца, a уже из второго.
Где - слева или справа в p(4)p(2) берется из 2-ого столбца?

вы понимаете под p(2)p(2)p(2) - вероятность попасть на 6 тремя ходами 1+1 и она равна 1/36³, где 1/36 - цифра из первого столбца (попадание за один ход).
B моей же формуле используются цифры из второго столбца (попадание за любое количество ходов). Поэтому после первого хода на 2 клетки, нам нужно поститать веряотность продвижения на 4 клетки.
p(4)= 1/36+1/36+1/36+ 1/36², т.e. она уже включает в себя все варианты (2+2), (3+1), (1+3), (1+1)+(1+1)

СергейП

KonstantinL писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post
KonstantinL писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post Здесь должно быть так p(6)=5/36+p(2)p(4)+p(4)p(2)+p(3)p(3)+p(2)p(2)p(2)=...
нет, все правильно! p(2)p(2)p(2) - уже учитывается в p(4)p(2)! Я же подставляю значения не из первого столбца, a уже из второго.
Где - слева или справа в p(4)p(2) берется из 2-ого столбца?
вы понимаете под p(2)p(2)p(2) - вероятность попасть на 6 тремя ходами 1+1 и она равна 1/36³, где 1/36 - цифра из первого столбца (попадание за один ход).
B моей же формуле используются цифры из второго столбца (попадание за любое количество ходов). Поэтому после первого хода на 2 клетки, нам нужно поститать веряотность продвижения на 4 клетки.
p(4)= 1/36+1/36+1/36+ 1/36², т.e. она уже включает в себя все варианты (2+2), (3+1), (1+3), (1+1)+(1+1)

Это Вы не поняли.
Если считать так
p(6)=5/36+p(2)p(4)+p(4)p(2)+p(3)p(3)=...
где все p(k) берутся из 2-ого столбца, то попадание в 6 за 3 хода будет учтено дважды, именно в этом и был вопрос про право\лево. Впрочем, легко поправимо, но надо пересчитывать.

A так, поставленная задача из 5 поста решается моделированием - пишется простенькая программа и вперед.

Ian · Сообщение **Ian** » 01 фев 2011, 19:26

Задача 1 ответ 2/7 независимо от длины круга.
Подсказка. Вероятность посетить на данном круге любую клетку одинакова

KonstantinL · Сообщение **KonstantinL** » 01 фев 2011, 19:34

СергейП писал(а):Source of the post
то попадание в 6 за 3 хода будет учтено дважды

Да, вы правы.

Ian писал(а):Source of the post
Задача 1 ответ 2/7 независимо от длины круга.
Подсказка. Вероятность посетить на данном круге любую клетку одинакова

Что-то не похоже. Слишком большая цифра.
У меня была мысль решить c помощью средней длины хода. Предположим, что поле имеет n клеток. Что-то мне подсказывает, что средняя длина хода равна 7 (смотрю на свой первый столбец). Тогда за круг мы сделаем в среднем n/7 ходов, т.e. наступим на n/7 клеток. (n/7)/n =1/7. Это больше похоже на правду?

Очередное пояснение, для не игравших в монополию. При броске на ход учитывается сумма на двух кубиках и пройденной считается только клетка, отстоящая от исходной на эту сумму. T.e., если выпало 3+6, то пройденной считается только клетка 9, a не 3 и 9, или 6 и 9, как в нардах. Возможно, Ian, вы посчитали что за один ход "отмечается" две клетки? Тогда ваш ответ тоже верный.

yourdomain.com