Доказать двойное неравенство с модулями

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 01 ноя 2015, 19:48

Здраствуйте. Второй день бьюсь над этой задачей, голову сломала.
Доказать неравенство $|m|+|n|\geqslant |m-n|\geqslant ||m|-|n||$ , где $$m,n$$

- вещественные.
Подскажите, с чего начать.

zam2 · Сообщение **zam2** » 01 ноя 2015, 20:49

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Здраствуйте. Второй день бьюсь над этой задачей, голову сломала. Доказать неравенство , где - вещественные. Подскажите, с чего начать.

Редактор формул не работает. Я картинкой.

Второе так же.

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 02 ноя 2015, 15:16

zam2, спасибо. Вроде всё понятно. Но немножко мучает одно но...
Вы a priori предположили верным утверждение (неравенство), истинность которого требуется установить в задаче. Затем с помощью эквивалентных преобразований (а, кстати, возведение в квадрат не есть эквивалентное преобразование для неравенств) пришли к очевидно истинному неравенству.
Но меня интересует в принципе, допустим ли такой подход к доказательству, когда мы принимаем за истинное утверждение, истинность которого требуется доказать? Ведь если исходное утверждение ложно, то с помощью истинных преобразований мы можем прийти к любому выводу, как истинному, так и ложному.
Что я имею в виду? Предположим нам нужно доказать истинность некоторого утверждения А. Если мы доказываем методом от противного, то мы предполагаем, что А ложно, и затем приходим к противоречию. Здесь же ситация иная. Вы, zam2, предположили, что А истинно, и от этого начали танцевать.
Может, я очень сумбурна и отчаянно туплю, но меня мучает, допустимо ди это?

12d3 · Сообщение **12d3** » 02 ноя 2015, 15:26

GEPIDIUM писал(а):Source of the post а, кстати, возведение в квадрат не есть эквивалентное преобразование для неравенств

Эквивалентное, если все выражения, возводимые в положительную степень, неотрицательны.

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Может, я очень сумбурна и отчаянно туплю, но меня мучает, допустимо ди это?

Тут фишка в том, что преобразования делаются только эквивалентные. То есть, если мы из неравенства А делаем эквивалентное неравенство Б, то они либо оба верны, либо оба неверны. Таким образом, в цепочки эквивалентных неравенств либо все верны, либо все неверны. Но последнее в цепочке точно верно. Значит, верно и начальное. Если преподаватель педант и будет к такому придираться, то вышеизложенные рассуждения стоит прописать явно(или хотя бы просто указать эквивалентность преобразований), либо писать цепочку преобразований с конца, либо поступить еще одним путем: делаем предположение, что исходное неравенство неверно, т.е. ставим знак наоборот, и преобразованиями приходим к неравенству, которое не может выполняться, т.е. к противоречию. Так тоже выходит все строго и последовательно.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 03 ноя 2015, 04:38

GEPIDIUM писал(а):Source of the post но меня мучает, допустимо ди это?

12d3 писал(а):Source of the post либо писать цепочку преобразований с конца,

GEPIDIUM, такой способ допустим, и лучше всего так, как рекомендует 12d3 и как выполнил доказательство zam2. Эквивалентными преобразованиями Вы приводите данное неравенство к очевидному неравенству. А вот теперь, производя все рассуждения в обратном порядке, докажем данное неравенство. Тут всё дело в том, что при доказательстве данного неравенства очень трудно догадаться, из какого очевидного неравенства нужно исходить. Вот поэтому и приходится делать допущение, что исходное неравенство верно, а уже при этом допущении получить очевидное неравенство. Так что всё законно, не сомневайтесь.
Если же Вас действительно смущает такой способ доказательства, могу предложить другой, прямой способ, основанный только на определении и свойствах абсолютной величины числа.
$|m-n|=|m+(-n)|\leqslant |m|+|-n|=|m|+|n|$ . Левое неравенство доказано.
Правое доказывается ненамного сложнее. Поскольку $$m=(m-n)+n$$

, то $|m|\leqslant |m-n|+|n|$ .
Значит, $|m-n|\geqslant |m|-|n|$ , а т.к. $|n-m|\geqslant |n|-|m|$ и $$|n-m|=|m-n|$$

, то $|m-n|\geqslant |n|-|m|$ .
А отсюда следует, что $|m-n|\geqslant ||m|-|n||$ . Правое неравенство доказано.
Ну как-то так.
.

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 03 ноя 2015, 06:55

ARRY, cпасибо, насчёт метода немного прояснилось. А вот в вашем доказательстве, во второй его части, непонятно, из чего следует, что $|m-n|\geqslant |m|-|n|$ ? Или я опять туплю?

ARRY · Сообщение **ARRY** » 03 ноя 2015, 23:21

GEPIDIUM писал(а):Source of the post непонятно, из чего следует, что $|m-n|\geqslant |m|-|n|$ ? Или я опять туплю?

GEPIDIUM, не понял, Вы шутите? Слагаемое переносится в другую часть неравенства с противоположным знаком.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 03 ноя 2015, 23:28

GEPIDIUM писал(а):Source of the post ARRY, cпасибо, насчёт метода немного прояснилось. А вот в вашем доказательстве, во второй его части, непонятно, из чего следует, что $|m-n|\geqslant |m|-|n|$ ? Или я опять туплю?

Вставлю свои пять копеек. Это неравенство очевидно и вне контекста.
При разных знаках m и n в левой части фактически имеет место сложение (тогда знак >), а в правой - в любом случае вычитание.
,

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 04 ноя 2015, 08:46

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Доказать неравенство |m|+|n|\geqslant |m-n|\geqslant ||m|-|n||, где m,n - вещественные.

первое неравенство называется неравенством треугольника, проверяется банальным возведением в квадрат, второе неравенство -- следствие первого, зделайте замену переменной

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 04 ноя 2015, 08:52

о ! написал "з" вместо "с", а поправить не удается, сейчас знатоки русского языка подтянутся

yourdomain.com