криволинейный интеграл 1 рода

laplas · Сообщение **laplas** » 29 мар 2015, 09:22

Здравствуйте! задачка вроде учебная, но из нее выходит какой-то нехороший интеграл.
$\int_{L}{y^2dl}$ , где L: $\begin{cases} & x= 2(t-sin(t)) \\ & y= 2(t-cos(t)) \end{cases}$ , $0\leq t\leq \pi$
очевидно, интеграл получается такой
$\int_{0}^{\pi}{8(t-cos(t))^2\sqrt{(1-cos(t))^2+(1+sin(t))^2}dt}$
подынтегральное выражение ни во что хорошее не удается свернуть. подскажите
спасибо

Ian · Сообщение **Ian** » 29 мар 2015, 11:28

Вот у такой -возьмется
$\int_{L}{y^2dl}$ , где L: $\begin{cases} & x= 2(t-sin(\sqrt 2t)) \\ & y= 2(t-cos(\sqrt 2t)) \end{cases}$ , $0\leq t\leq \pi$
потому что корень извлекается в синус сдвинутого половинного аргумента
А у этой не берется, так как сводится к эллиптическому интегралу. Конечно какие-то отдельные значения эллиптического интеграла вычисляются, но первообразная не выражается в элементарных функциях.И по крайней мере через первообразную Вы тут не сделаете.
Это похоже на циклоиду, повернутую на 45^o. А у циклоиды оба вторых момента вычисляемы (также потому что корень извлекается по триг. формулам), значит как ее ни поверни, вычисляемы все равно. Но в том и дело, что у Вас не настоящая циклоида, а та, что получается при качении с проскальзыванием. Вот я добавил множитель, сравнял угловую и линейную скорость, проскальзывания не стало, потому у меня и интегрируется)

laplas · Сообщение **laplas** » 29 мар 2015, 21:32

Ian, спасибо. получается в задаче опечатка? или составитель не задумался об ответе, когда придумывал задачу? иначе как такая задача попала в методичку

laplas · Сообщение **laplas** » 24 фев 2016, 10:28

yourdomain.com