Правильность решения (ОДУ)

Math · Сообщение **Math** » 28 фев 2015, 20:42

$\begin{flalign} Q(t)=-\frac{(1-\gamma)\phi_1}{2\gamma^2}\Big(\lambda_1+\frac{\rho\sigma_v}{1-\gamma}H(t)\Big)^2. \end{flalign}$ Здравствуйте!
Буду благодарен за совет в решении следующей задачи. Даны уравнения
$(H^{\Pi})'=K_1+K_2H+K_3H^2+K_4H^{\Pi}+K_5HH^{\Pi}+K_6(H^{\Pi})^2, \\ H'=\hat aH+\hat bH^2+\hat c$
Необходимо найти условия при которых
$f(t)=H^{\Pi}(t)-H(t)>0$ .
Подойдёт ли следующее. Можно показать, что
$\Big(H^{\Pi}-H\Big)'&=(H^{\Pi}-H)\Big(K_4+K_6(H^{\Pi}+H)+K_5H\Big) \\ &\quad +K_1-\hat c+(K_2+K_4-\hat a)H+(K_3+K_5+K_6-\hat b)H^2.$
Тогда получаем, что
$$f'+fP(t)=Q(t)$$

,
где
$P(t)=-\Big(K_4+K_6(H^{\Pi}(t)+H(t))+K_5H(t)\Big), \\ Q(t)=K_1-\hat c+(K_2+K_4-\hat a)H(t)+(K_3+K_5+K_6-\hat b)H^2(t).$
Значит
$f(t)=\exp\Big(-\int_t^TP(\tau)d\tau\Big)\int_t^T\exp\Big(\int_s^TP(\tau)d\tau\Big)Q(s)ds$ .
Поэтому для положительности f достаточно
$\int_t^TP(\tau)d\tau<\infty, \ t\leq T, \quad Q(s)>0$ .
Правильны ли такие вычисления.
Заранее спасибо.

yourdomain.com

Правильность решения (ОДУ)

Правильность решения (ОДУ)

Кто сейчас на форуме