Разложить в ряд Фурье не рядом Фурье... Или наоборот...
Добавлено: 09 июн 2014, 18:27
Задачка достаточна тривиальна, и, возможно, уже кем-то решена. Итак, есть некая последовательность
. Ее нужно задержать на время
. Т.е. получить последовательность
.
Теперь детали, в коих по определению скрывается Диавол. Он, таки, там и скрывается.
Дело в том, что спектр последовательности (обозначим его, как
) Очень узкий, а сдвинуть его нужно при помощи дискретной свертки минимальной длины. Что сие означает?
В идеале я хочу получить последовательность
со спектром:
![$$\displaystyle F( \omega )e^{-j \omega T} $$ $$\displaystyle F( \omega )e^{-j \omega T} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%20F%28%20%5Comega%20%29e%5E%7B-j%20%5Comega%20T%7D%20%24%24)
Однако при помощи обычной свертки это невозможно. Дискретная свертка может дать лишь приближенный результат. Т.е. вместо
я могу получить
![$$\displaystyle F( \omega ) \left( a_0 + a_1 e^{-j \omega } + a_2 e^{-j2 \omega } + a_3 e^{-j3 \omega } + ... \right) $$ $$\displaystyle F( \omega ) \left( a_0 + a_1 e^{-j \omega } + a_2 e^{-j2 \omega } + a_3 e^{-j3 \omega } + ... \right) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%20F%28%20%5Comega%20%29%20%5Cleft%28%20a_0%20%2B%20a_1%20e%5E%7B-j%20%5Comega%20%7D%20%2B%20a_2%20e%5E%7B-j2%20%5Comega%20%7D%20%2B%20a_3%20e%5E%7B-j3%20%5Comega%20%7D%20%2B%20...%20%5Cright%29%20%20%24%24)
Учитывая, что
в очень узком диапазоне около нулевой частоты, а в остальных местах этого диапазона
, то задача сводится к представлению
![$$\displaystyle e^{-j \omega T} $$ $$\displaystyle e^{-j \omega T} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%20e%5E%7B-j%20%5Comega%20T%7D%20%24%24)
рядом Фурье
![$$\displaystyle a_0 + a_1 e^{-j \omega } + a_2 e^{-j2 \omega } + a_3 e^{-j3 \omega } + ... $$ $$\displaystyle a_0 + a_1 e^{-j \omega } + a_2 e^{-j2 \omega } + a_3 e^{-j3 \omega } + ... $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%20a_0%20%2B%20a_1%20e%5E%7B-j%20%5Comega%20%7D%20%2B%20a_2%20e%5E%7B-j2%20%5Comega%20%7D%20%2B%20a_3%20e%5E%7B-j3%20%5Comega%20%7D%20%2B%20...%20%20%24%24)
Как известно, сходится этот ряд в среднеквадратичном смысле, что меня полностью устраивает. И тут сначала появляются рога и сразу после них - копыта.
Сходиться-то этот ряд сходится, но на всем интервале
. А меня интересует только узенький отрезок
. А ошибка минимизируется НА ВСЕМ интервале
. А это для меня слишком дорого (много вычислений).
И так, вопрос: как оптимально в среднеквадратичном смысле разложить в ряд Фурье не на всем отрезке, а только на маленькой его части?
Заранее спасибо за ответы.
Теперь детали, в коих по определению скрывается Диавол. Он, таки, там и скрывается.
Дело в том, что спектр последовательности (обозначим его, как
В идеале я хочу получить последовательность
Однако при помощи обычной свертки это невозможно. Дискретная свертка может дать лишь приближенный результат. Т.е. вместо
Учитывая, что
рядом Фурье
Как известно, сходится этот ряд в среднеквадратичном смысле, что меня полностью устраивает. И тут сначала появляются рога и сразу после них - копыта.
Сходиться-то этот ряд сходится, но на всем интервале
И так, вопрос: как оптимально в среднеквадратичном смысле разложить в ряд Фурье не на всем отрезке, а только на маленькой его части?
Заранее спасибо за ответы.