Решить функциональное уравнение
Добавлено: 26 дек 2013, 14:38
Решить следующее уравнение
![$$\underbrace{f(f( ... f}_{n}(x) ...)=x^2$$ $$\underbrace{f(f( ... f}_{n}(x) ...)=x^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cunderbrace%7Bf%28f%28%20...%20f%7D_%7Bn%7D%28x%29%20...%29%3Dx%5E2%24%24)
запишем это коротко, например так:
![$$F_nf(x)=x^2$$ $$F_nf(x)=x^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24F_nf%28x%29%3Dx%5E2%24%24)
далее я сделал предположение, что искомая функция
является степенной, то есть![$$f(x)=x^{\alpha}$$ $$f(x)=x^{\alpha}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3Dx%5E%7B%5Calpha%7D%24%24)
отсюда следует, что
![$$F_nx^{\alpha}=x^{\alpha^n}$$ $$F_nx^{\alpha}=x^{\alpha^n}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24F_nx%5E%7B%5Calpha%7D%3Dx%5E%7B%5Calpha%5En%7D%24%24)
решая уравнение
получим, что
и далее
![$$f(x)=x^{\sqrt[n]{2}}$$ $$f(x)=x^{\sqrt[n]{2}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3Dx%5E%7B%5Csqrt%5Bn%5D%7B2%7D%7D%24%24)
итак я нашел одно решение, но могут быть и другие.
Это уравнение будет решено, если я найду все решения
либо докажу, что других решений нет.
Ни то, ни другое мне не подвластно. Может у кого есть на сей счет идея??
буду очень благодарен любой подсказке.
запишем это коротко, например так:
далее я сделал предположение, что искомая функция
является степенной, то есть
отсюда следует, что
решая уравнение
итак я нашел одно решение, но могут быть и другие.
Это уравнение будет решено, если я найду все решения
либо докажу, что других решений нет.
Ни то, ни другое мне не подвластно. Может у кого есть на сей счет идея??
буду очень благодарен любой подсказке.