разность между приращением и дифференциалом функции

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 26 дек 2013, 09:30

Здравствуйте. Необходимо найти разность между приращением и дифференциалом функции
$y=(1-3x)^{3}+3(1-3x)$
в точке х=1/3

ответ

$-27{\Delta{x}}^{3}$

Это по формуле такой делать

$\Delta{y}-dy=y(x+\Delta{x})-y(x)-y'\Delta{x}$

но это немножко долго для экзамена в виде теста и у меня ответ по этой формуле длиннее получается ( $-27{\Delta{x}}^3+27\Delta{x}-1$ ), может есть способ проще? Спасибо.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 26 дек 2013, 10:25

tata00tata писал(а):Source of the post у меня ответ по этой формуле длиннее получается ( $-27{\Delta{x}}^3+27\Delta{x}-1$ )

Это явно ошибка: их разность не просто должна стремится к нулю при $\Delta{x} \to 0$ (у вас стремится к -1), она должна быть $$î(\Delta{x})$$ (например, содержать вторую и выше степени $\Delta{x}$ ).

но это немножко долго для экзамена в виде теста , может есть способ проще? Спасибо.

Может, ряд Тейлора?

bot · Сообщение **bot** » 26 дек 2013, 13:25

Просто по определению, в полстроки умещается, даже производных брать не надо:

$\Delta y=y(\frac13+\Delta x)-y(\frac13)= ...$ - при подстановке сама собой появится главная линейная часть и слагаемое, которое будет $o(\Delta x)$ .

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 26 дек 2013, 20:48

не поняла, я подставила раскрыла скобки, получилось
$-27{\Delta{x}}^{3}-9\Delta{x}$
но не поняла, это что ответ на поставленный вопрос? спасибо

bot писал(а):Source of the post
Просто по определению, в полстроки умещается, даже производных брать не надо:

$\Delta y=y(\frac13+\Delta x)-y(\frac13)= ...$ - при подстановке сама собой появится главная линейная часть и слагаемое, которое будет $o(\Delta x)$ .

это же определение приращения, но не разность между приращением и дифференциалом?

Рубен писал(а):Source of the post
tata00tata писал(а):Source of the post у меня ответ по этой формуле длиннее получается ( $-27{\Delta{x}}^3+27\Delta{x}-1$ )
Это явно ошибка: их разность не просто должна стремится к нулю при $\Delta{x} \to 0$ (у вас стремится к -1), она должна быть $$î(\Delta{x})$$ (например, содержать вторую и выше степени $\Delta{x}$ ).

но это немножко долго для экзамена в виде теста , может есть способ проще? Спасибо.
Может, ряд Тейлора?

нет, ряд Тейлора точно нет, а как можно через ряд найти эту разность?

senior51 · Сообщение **senior51** » 27 дек 2013, 01:19

[quote name='tata00tata' date='26.12.2013, 20:48' post='423261']
не поняла, я подставила раскрыла скобки, получилось
$-27{\Delta{x}}^{3}-9\Delta{x}$
но не поняла, это что ответ на поставленный вопрос? спасибо
Почти ответ:dy=-9dx

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 27 дек 2013, 09:06

"Почти ответ:dy=-9dx"
Я очень прошу прощения, а почему это так?

или как я поняла из вышенаписанного линейная часть приращения всегда и есть дифференциал?

bot · Сообщение **bot** » 27 дек 2013, 10:53

tata00tata писал(а):Source of the post
как я поняла из вышенаписанного линейная часть приращения всегда и есть дифференциал?

Не любая линейная часть приращения (мало ли чито нам вздумается линейного отщепить), а ГЛАВНАЯ линейная часть приращения, то есть такая, что остаток будет ~~тьфу в сравнении с ним~~ о малым.

У Вас верно получилось, что $\Delta y(\frac13)=-9\Delta x-27\Delta x^3$ . Первое слагаемое - это главная линейная часть приращения (то есть дифференциал), потому что оно линейно, а остаток о мал: $-27\Delta x^3=o(\Delta x)$ . Остаётся лишь перенести дифференциал налево с обратным знаком, чтобы получить искомую разность.

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 27 дек 2013, 11:34

Не любая линейная часть приращения (мало ли чито нам вздумается линейного отщепить), а ГЛАВНАЯ линейная часть приращения

а можете привести пример где не вся линейная часть является дифференциалом, а то я не могу найти в книжках. Спасибо

bot · Сообщение **bot** » 27 дек 2013, 14:47

Что значит не вся? Линейной части как таковой не бывает. Бывает такая линейная часть, что остальное ... ну это уже было.
Читайте ещё раз определение

Функция $$f$$

называется дифференцируемой в точке $$x_0$$

, если её приращение в этой точке может быть предствлено в виде

$\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+r$ , где $$A$$

- rконстанта, а $r=o(\Delta x)$ .

При этом первое слагаемое называют главной линейной частью приращения или дифференциалом.

В вашем примере приращение само собой естественным путём развалилось на два слагаемых в нужной форме. Это будет не всегда и чтобы его получить, нужно потрудиться.

Пример. Возьмём экспоненту в нуле.

$\Delta \exp (0)= e^{\Delta x}-e^{0}=1\cdot \Delta x+ \left(\frac{e^{\Delta x}-e^{0}}{\Delta x}-1\right)\Delta x$

Выражение в скобках во втором слагаемом стремится к нулю (по следствию из второго замечательного предела) при $\Delta x\to 0$ , второе слагаемое является o малым в сравнении с $\Delta x$ . Так как при этом первое слагаемое линейно, то оно является дифференциалом.

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 13 янв 2014, 15:10

простите за большой перерыв, подскажите ещё, а как получилось
$\ e^{\Delta x}-e^{0}=1\cdot \Delta x+ \left(\frac{e^{\Delta x}-e^{0}}{\Delta x}-1\right)\Delta x$

а на счёт дифференциала я на этом примере поняла, спасибо

yourdomain.com