Разложить функцию в ряд Тейлора.
Добавлено: 20 дек 2013, 10:01
Функция y=y(x) задана в неявном виде:
Надо разложить эту функцию в ряд Тейлора при условии y(0)=0
дифференцируем это уравнение
отсюда
так как , то умножим все на y'
подставляя сюда и приведя подобные, получим
отсюда
надо сказать, что отличны от нуля только производные, порядок
которых по модулю 4 равен 1, то есть производные порядка 1, 5, 9, 13, 17, ....
Далее вычисления становятся громоздкими, чтобы как-то их упростить я
применил следующий прием: собственно говоря обозначения функций и
ее производных нам не нужны. Ведь мы оперируем их степенями. И вот я
решил представить вторую производную в виде условного числа:
продолжаем вычисления
Вы хорошо поняли, что я сейчас сделал??
далее
и приводя подобные
аналогично вычисляется и 5-ая производная.
ее значение:
Итак, мы можем начать раскладывать функцию в ряд
Интересная функция! Может ее очередной член ряда будет иметь вид ?
Однако легко заметить, что коэффициенты у производных, как и число слагаемых растет
со скоростью геометрической прогрессии.
решил привлечь компьютер, чтобы он вычислил дальнейшие производные, благо вычисление
производных происходит по простому алгоритму, но компьютер не дотянул до 17-ой производной
десятки тысяч слагаемых плюс переполнение (величина коэффициентов стала больше 2147483647)
Может кто-нибудь подскажет иной путь решения
очередной член ряда имеет вид:
Надо разложить эту функцию в ряд Тейлора при условии y(0)=0
дифференцируем это уравнение
отсюда
так как , то умножим все на y'
подставляя сюда и приведя подобные, получим
отсюда
надо сказать, что отличны от нуля только производные, порядок
которых по модулю 4 равен 1, то есть производные порядка 1, 5, 9, 13, 17, ....
Далее вычисления становятся громоздкими, чтобы как-то их упростить я
применил следующий прием: собственно говоря обозначения функций и
ее производных нам не нужны. Ведь мы оперируем их степенями. И вот я
решил представить вторую производную в виде условного числа:
продолжаем вычисления
Вы хорошо поняли, что я сейчас сделал??
далее
и приводя подобные
аналогично вычисляется и 5-ая производная.
ее значение:
Итак, мы можем начать раскладывать функцию в ряд
Интересная функция! Может ее очередной член ряда будет иметь вид ?
Однако легко заметить, что коэффициенты у производных, как и число слагаемых растет
со скоростью геометрической прогрессии.
решил привлечь компьютер, чтобы он вычислил дальнейшие производные, благо вычисление
производных происходит по простому алгоритму, но компьютер не дотянул до 17-ой производной
десятки тысяч слагаемых плюс переполнение (величина коэффициентов стала больше 2147483647)
Может кто-нибудь подскажет иной путь решения
очередной член ряда имеет вид: