Разложить функцию в ряд Тейлора.

geh · Сообщение **geh** » 20 дек 2013, 10:01

Функция y=y(x) задана в неявном виде:
$$y^5-5y+4x=0$$

Надо разложить эту функцию в ряд Тейлора при условии y(0)=0
дифференцируем это уравнение
$$5y^4y'-5y'+4=0$$

отсюда

так как $y'(0)\ne0$ , то умножим все на y'
$$20y^3y'^3+5y^4y'y''-5y'y''=0$$

подставляя сюда $$5y^4y'=5y'-4$$

и приведя подобные, получим
$$y''=5y^3y'^3$$

отсюда

надо сказать, что отличны от нуля только производные, порядок
которых по модулю 4 равен 1, то есть производные порядка 1, 5, 9, 13, 17, ....
Далее вычисления становятся громоздкими, чтобы как-то их упростить я
применил следующий прием: собственно говоря обозначения функций и
ее производных нам не нужны. Ведь мы оперируем их степенями. И вот я
решил представить вторую производную в виде условного числа:
$$y''=5,33$$

продолжаем вычисления
$$y'''=15,24+15,321$$

Вы хорошо поняли, что я сейчас сделал??
далее
$y^{(4)}=30,15+60,231+45,231+30,312+15,3201$ и приводя подобные
$y^{(4)}=30,15+105,231+30,312+15,3201$
аналогично вычисляется и 5-ая производная.
ее значение: $y^{(5)}=30*0,8^6$
Итак, мы можем начать раскладывать функцию в ряд
$y=0,8x+\frac{(0,8)^5}5x^5$
Интересная функция! Может ее очередной член ряда будет иметь вид $\frac{(0,8)^9}9x^9$ ?
Однако легко заметить, что коэффициенты у производных, как и число слагаемых растет
со скоростью геометрической прогрессии.
решил привлечь компьютер, чтобы он вычислил дальнейшие производные, благо вычисление
производных происходит по простому алгоритму, но компьютер не дотянул до 17-ой производной
десятки тысяч слагаемых плюс переполнение (величина коэффициентов стала больше 2147483647)
Может кто-нибудь подскажет иной путь решения

очередной член ряда имеет вид: $\frac{(0,8)^9}5x^9$

zykov · Сообщение **zykov** » 21 дек 2013, 01:31

geh писал(а):Source of the post надо сказать, что отличны от нуля только производные, порядок которых по модулю 4 равен 1, то есть производные порядка 1, 5, 9, 13, 17, ....

Раз так, то может проще разложить $$z(t)$$

, где $y(x)=x\cdot z(x)$ и $$t=x^4$$

.

geh · Сообщение **geh** » 21 дек 2013, 13:21

Вы дали классный совет. Я его слегка модернизировал
сделал подстановку $$t=(0,8x)^4$$

. Убрались лишние
коэффициенты. Мне и в голову не пришло, что можно
все сильно упростить (я шел по пути максимального сопротивления)

yourdomain.com