Производная от вектора по вектору
Добавлено: 22 ноя 2013, 14:16
Подскажите, пожалуйста, где можно посмотреть как вычисляют производные от векторного выражения по вектору, например, в задаче линейного МНК, нужно взять производную
от
![$$S\left( {\mathbf{\beta }} \right) = {{\mathbf{y}}^T}{\mathbf{y}} - 2{{\mathbf{\beta }}^T}{X^T}{\mathbf{y}} + {{\mathbf{\beta }}^T}{X^T}X{\mathbf{\beta }},\quad {\mathbf{\beta }} \in {\mathbb{R}^n},X \in {\mathbb{R}^{m \times n}}$$ $$S\left( {\mathbf{\beta }} \right) = {{\mathbf{y}}^T}{\mathbf{y}} - 2{{\mathbf{\beta }}^T}{X^T}{\mathbf{y}} + {{\mathbf{\beta }}^T}{X^T}X{\mathbf{\beta }},\quad {\mathbf{\beta }} \in {\mathbb{R}^n},X \in {\mathbb{R}^{m \times n}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S%5Cleft%28%20%7B%5Cmathbf%7B%5Cbeta%20%7D%7D%20%5Cright%29%20%3D%20%7B%7B%5Cmathbf%7By%7D%7D%5ET%7D%7B%5Cmathbf%7By%7D%7D%20-%202%7B%7B%5Cmathbf%7B%5Cbeta%20%7D%7D%5ET%7D%7BX%5ET%7D%7B%5Cmathbf%7By%7D%7D%20%2B%20%7B%7B%5Cmathbf%7B%5Cbeta%20%7D%7D%5ET%7D%7BX%5ET%7DX%7B%5Cmathbf%7B%5Cbeta%20%7D%7D%2C%5Cquad%20%7B%5Cmathbf%7B%5Cbeta%20%7D%7D%20%5Cin%20%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5En%7D%2CX%20%5Cin%20%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bm%20%5Ctimes%20n%7D%7D%24%24)
Ответ получают следующий:
![$$\frac{{\partial S}}{{\partial {\mathbf{\beta }}}}=- {X^T}{\mathbf{y}} + \left( {{X^T}X} \right){\mathbf{\beta }}$$ $$\frac{{\partial S}}{{\partial {\mathbf{\beta }}}}=- {X^T}{\mathbf{y}} + \left( {{X^T}X} \right){\mathbf{\beta }}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20S%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20%7B%5Cmathbf%7B%5Cbeta%20%7D%7D%7D%7D%3D-%20%7BX%5ET%7D%7B%5Cmathbf%7By%7D%7D%20%2B%20%5Cleft%28%20%7B%7BX%5ET%7DX%7D%20%5Cright%29%7B%5Cmathbf%7B%5Cbeta%20%7D%7D%24%24)
Заранее спасибо!
Ответ получают следующий:
Заранее спасибо!