Доказать предел (р.р. последовательности)

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 11 окт 2013, 00:48

Пусть $x_n=\{qn\}, n \in \mathbb{N},$ $$q$$

- иррациональное, $A=[a, b] \subset [0, 1], I_A(x)$ - индикатор $$A.$$

Доказать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n I_A(x_n) = b-a.$

Ясно, что сумма - это количество элементов $$x_n,$$

входящих в $$A.$$

Хочу доказать, честно посчитав сумму (без критерия Вейли и прочего), но пока не могу найти опорных точек.

Предлагаю рассматривать $A=[0, a) \subset [0, 1), q=\sqrt2.$

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 11 окт 2013, 01:14

Может фишка в том, что члены последовательности всюду плотно заполняют отрезок $$[0, 1] ?$$

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 11 окт 2013, 05:11

Предыдущее обсуждение здесь:
[url=http://dxdy.ru/topic76317.html]http://dxdy.ru/topic76317.html[/url]
ну чтобы не повторяться хотя бы

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 12 окт 2013, 17:19

Следует ли из того, что данная последовательность всюду плотная в $$[0, 1],$$

данный предел?

ARRY · Сообщение **ARRY** » 14 окт 2013, 11:55

DarkMel писал(а):Source of the post
Следует ли из того, что данная последовательность всюду плотная в данный предел?

Похоже, что да. Я полагаю, что прав участник вышеуказанного обсуждения, который предложил для доказательства интегральную сумму по разбиению на этом отрезке. Но надо подумать, полной уверенности нет.

fri739 · Сообщение **fri739** » 23 окт 2013, 23:12

DarkMel писал(а):Source of the post
Следует ли из того, что данная последовательность всюду плотная в данный предел?

Из одной только плотности этого не следует.

Так как множество $\mathbb{N}-\{2,2^2,2^3,\dots\}$ счётно, то можно построить биекцию $\phi$ из этого множества в $\mathbb{Q}\cap[0;1/2]$ . Определим теперь последовательность $$y_k$$

по правилу
$y_k=\begin{cases} \phi(k),&k\neq 2^m\\ \phi(m)+1/2,&k=2^m,m\neq 2^s\\ 0,&k=2^{2^s} \end{cases}.$
Эта последовательность всюду плотна в $$[0;1]$$

(просто потому, что она совпадает c $\mathbb{Q}\cap[0;1]$ ). В то же время
$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}I_{[1/2;1]}(y_k)\leq \frac{\log_2 n}{n}$ , откуда следует, что интересующий нас предел равен нулю, а не $$1-1/2$$

.

yourdomain.com