Неравенство (интеграл, функция)

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 15 авг 2013, 00:37

Пусть функция $$f$$

определена и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $$[a,b]$$

, причём всюду на этом отрезке:
1) $$f>0$$

;
2) $f' \ne 0$ ;
3) $\sqrt f$ вогнута.
Докажите, что $\int_a^b {\frac {dx} {f(x)}} \geqslant 2 \left(\frac 1 {f'(a)} - \frac 1 {f'(b)}\right).$

fri739 · Сообщение **fri739** » 22 авг 2013, 22:40

Так как кривая $y=\sqrt{f(x)}$ на указанном отрезке вогнута, то $(\sqrt{f(x)})''\leq 0$ , что влечёт $2f''(x)f(x)-f'(x)^2\leq 0$ . Тогда
$0\leq \int\limits_{a}^{b}\frac{f'(x)^2-2f''(x)f(x)}{f(x)f'(x)^2}\,dx=\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}\,dx-2\int\limits_{a}^{b}\frac{f''(x)}{f'(x)^2}\,dx$ . Сделав очевидную подстановку во втором интеграле, получим желаемое неравенство.

yourdomain.com