yourdomain.com

Скажите пожалуйста, где можно (лучше в интернете) найти доказательство того, что интеграл Лебега-Стилтьеса (и Риманна-Стилтьеса) могут быть построены только когда интегрируем по функции имеющей ограниченную вариацию?

Некоторые авторы предполагают уже при определении каждого из этих интегралов, что функция имеет ограниченную вариацию, например известная Вам книга Колмогоров-Фомин , а некоторые нет (вот например такая ссылка на пдф, пример 4). И как вы представляете себе доказательство того, что f интегрируема по g ТОЛЬКО если g=ОВ? Что интегральные суммы расходятся ? Но для f=0 они всегда равны 0.

Мой вопрос возник из того, что стохастический интеграл (интеграл Ито по Броуновскому движению) нельзя строить как интеграл Риманна-Стилтьеса (то есть делать потраекторное интегрирование) потому что Броуновское движение имеет неограниченную вариацию. Здесь говорится, что имеется доказательство того, что если интеграл существует как интеграл Риманна-Стилтьеса для всех непрерывных на , то должна быть обязательно ограниченной вариации.

Math писал(а):Source of the post Здесь говорится, что имеется доказательство того, что если интеграл существует как интеграл Риманна-Стилтьеса для всех непрерывных на , то должна быть обязательно ограниченной вариации.

Для всех непрерывных f- тогда это реально. Но должны быть предварительные условия и на g, хватит кусочной непрерывности и почти всюду дифференцируемости.Тогда доказать можно по такой схеме: измеримая функция на отрезке, приблизим ее по теореме Лузина непрерывной функцией f, тогда близок к полному изменению функции g
Однако броуновские траектории, кажется, нигде не дифференцируемы с верояностью 1
А про интеграл Ито я не в курсе. если бы где-то это было аккуратно определено, интересно почитать)