Доказать, что последовательность р.р.мод 1

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 15 дек 2012, 17:57

Упражнение 2.11 из Кейперса Нидеррайтера Равномерное распределение:
Если $$x_n$$

р.р.мод 1, а $$y_n$$

такая, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|y_k| =0$ , то $$x_n+y_n$$

также р.р.мод 1.

Как решать, не знаю

Из условия на $$y_n$$

не следует, что $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0$ (зато доля $$y_n$$

, превосходящих $\epsilon$ сколь угодно мала....)
В главе приведен критерий Вейля и критерий Фейера. 2-й - неприменим, 1-й - затрудняюсь применить....

upd: А наверное просто по определению: $$x_n+y_n$$

р.р.мод 1, если $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\#\{k:k\leqslant n, a<\{x_k+y_k\}<b\}}{n}=b-a$ . Считаем, что $0\leqslant x_n\leqslant 1$ .
Обозначим $M_{\epsilon, n}=\#\{k:k\leqslant n, |y_k|>\epsilon\}$ . Тогда $0=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|y_k|\geqslant\epsilon\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|M_{\epsilon,n}|}{n}$ , откуда $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|M_{\epsilon,n}|}{n}=0$ .
Тогда дробь $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\#\{k:k\leqslant n, a<\{x_k+y_k\}<b\}}{n}=b-a$ разбиваем на две: для $k\in M_{\epsilon,n}$ и для $k\notin M_{\epsilon,n}$ . 1-я стремится к нулю, т.к. $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|M_{\epsilon,n}|}{n}=0$ , а для 2-й $|y_k|<\epsilon$ и она сколь угодно мало отличается от нужного предела.

Ну может кто-то попроще что-то предложит...

yourdomain.com

Доказать, что последовательность р.р.мод 1

Доказать, что последовательность р.р.мод 1

Кто сейчас на форуме