yourdomain.com

Если поток вектора не зависит от поверхности - то можно рассматривать поверхность например кубика стремящегося в размерах к нулю.

Автор не утверждает, что дивергенция в точке равна потоку через поверхность малого шара с центром в ней, он просто говорит что зная потоки можно узнать дивергенцию. Выведем сами, чему же она равна. По ф-ле Гаусса-Остроградского При малом шаре и гладком поле примерно константа и в пределе , тут в знаменателе просто объем шара. Это свойство дивергенции и можно принять за второе ее определение, наряду с первым, через частные произвожные.
А у Вас потерян объем как множитель, конечно приведет к противоречию.

Не до конца понял. В общем под потоком вектора в точке автор подразумевает поток вектора через поверхность натянутую на некоторый малый объем. Однако это как мне кажется некорректная формулировка.

Ну да ладно, спасибо

Roto писал(а):Source of the post
В общем под потоком вектора в точке автор подразумевает поток вектора через поверхность натянутую на некоторый малый объем. Однако это как мне кажется некорректная формулировка.

Это - некорректная. Поток вектора через сферу малого радиуса с центром в точке стремится к 0 при стремлении радиуса к 0, по двум причинам. Первая, что площадь сферы, по которой интегрируем, стремится к 0, а компоненты поля конечны, стремятся к компонентам в точке. Вторая, что диаметрально противоположные площадки на сфере имеют противоположные по знаку нормали, и поток можно преобразовать в интеграл по полусфере от , первая компонента скалярного произведения стремится к 0 из непрерывной дифференцируемости, как . Эти факторы "перемножаются", и получается, что поток не просто мал, но пропорционален . Поэтому неудивительно, что дивергенция равна пределу потока, деленного не на площадь поверхности малого шара, а на его объем, и это уже корректно. А формула Гаусса -Остроградского показала в пред. посте, что это еще и верно .