Пределы и доказательства

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 01 авг 2012, 10:06

У меня возник вопрос общего характера. В определении предела числовой последовательности $\displaystyle x_n$ и предела функции одной независимой переменной $\displaystyle f(x)$ фигурирует произвольное число $\displaystyle \varepsilon>0$ . Можно ли при доказательстве утверждений о пределах брать $\displaystyle \varepsilon=\varphi(n)$ , если $\displaystyle \varphi(n)>0$ (предел последовательности) и $\displaystyle \varepsilon=\psi(x)$ , если $\displaystyle \psi(x)>0$ (предел функции)? Думаю, что можно, так как число $\displaystyle \varepsilon>0$ произвольное. Или я неправ?

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 01 авг 2012, 11:15

Поясню на примерах.

Задача №1. Доказать, пользуясь определением предела функции по Коши, что $\displaystyle \lim_{x \to 3+0}{(x^2+5x+6)}=30$ .

Зафиксируем произвольное $\displaystyle \varepsilon>0$ . По определению правого предела нужно указать такое число $\displaystyle \delta=\delta(\varepsilon)>0$ , что из неравенства $\displaystyle 0<x-3<\delta$ следует $\displaystyle |x^2+5x+6-30|<\varepsilon$ . Учитывая, что $\displaystyle x>3$ , а значит, и $\displaystyle |x+8|>0$ , положим $\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{|x+8|}>0$ . Тогда из неравенства $\displaystyle 0<x-3<\delta$ следует $\displaystyle |x-3|\cdot|x+8|<\varepsilon$ .

Задача №2. Пусть $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{ (x_n^2+6x_n)}=16; x_n>0$ . Доказать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{x_n}=2$ .

Дано: $\displaystyle (\forall \varepsilon_1>0) \ (\exists k_1 ) \ (\forall n>k_1) \ (|x_n^2+6x_n-16|< \varepsilon_1)$ . Доказать: $\displaystyle (\forall \varepsilon_2>0) \ (\exists k_2 ) \ (\forall n>k_2) \ (|x_n-2|< \varepsilon_2)$ . Учитывая, что $\displaystyle x_n>0$ , положим $\displaystyle \varepsilon_2=\frac{\varepsilon_1}{|x_n+8|}>0$ , тогда $\displaystyle \varepsilon_1=\varepsilon_2|x_n+8|$ и $\displaystyle |x_n+8| \cdot |x_n-2|<\varepsilon_1 \ \Leftrightarrow \ |x_n-2|< \varepsilon_2$ при $\displaystyle k_2=k_1$ .

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 01 авг 2012, 11:54

Наоборот по $\epsilon$ мы выбираем $N(\epsilon)$ , что для всех n>N выполняется $|x_n-a|<\epsilon$ .

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 01 авг 2012, 12:32

Виктор В, мне кажется, Вы не совсем правильно поняли условие задачи: там дано, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(x_n^2+6x_n)}=16$ , поэтому $\displaystyle k_1(\varepsilon_1)$ уже найдено. Не нужно доказывать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(x_n^2+6x_n)}=16$ . Но, исходя из этого, нужно доказать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{x_n}=2$ .

Ian · Сообщение **Ian** » 01 авг 2012, 14:57

Ellipsoid писал(а):Source of the post положим $\displaystyle \varepsilon_2=\frac{\varepsilon_1}{|x_n+8|}>0$ ,

Это место неубедительно. Вообще теорию пределов можно рассматривать как продолжение упражнений по школьной алгебре ( неравенства с параметрами), но с весьма узкими целями таких упражнений.
Вот я решаю задачу 2.
$\\16-\varepsilon <x^2+6x <16+\varepsilon\\x>0$
$\displaystyle \\(-3-\sqrt{25+\varepsilon}<x<-3-\sqrt{25-\varepsilon})\cup (-3+\sqrt{25-\varepsilon})<x<-3+\sqrt{25+\varepsilon})\\x>0$
$\displaystyle -3+\sqrt{25-\varepsilon}<x<-3+\sqrt{25+\varepsilon}$ (*)
Пользуемся в одну сторону неравенствами типа $\sqrt{1-a}>1-a,a>0$ (тупо хорда ниже графика корня), в другую неравенством типа Бернулли $\sqrt{1+a}<1+\frac a2$ (выражающим то, что касательная выше графика корня)**.
Получаем следствие из неравенства (*)
$\displaystyle \\-3+5\left(1-\frac{\varepsilon}{25}\right)<-3+5\sqrt{1-\frac{\varepsilon}{25}}=-3+\sqrt{25-\varepsilon}<x<\\<-3+\sqrt{25+\varepsilon}=-3+5\sqrt{1+\frac{\varepsilon}{25}}<-3+5\left(1+\frac{\varepsilon}{50}\right)$
$\displaystyle 2-\frac{\varepsilon}{5}<x<2+\frac{\varepsilon}{10}$ отсюда следствие
$\displaystyle |x-2|<\max \left(\frac{\varepsilon}{5},\frac{\varepsilon}{10}\right) =\frac{\varepsilon}{5}:=\varepsilon_1$
Ну и слова, понятно какие.
**UPD Тут еще проще $\sqrt{1+a}<1+a,a>0$ (продолжение той же хорды выше графика корня) и все еще короче выйдет

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 01 авг 2012, 17:24

Ian, cпасибо.
А почему $\displaystyle \varepsilon_2=\frac{\varepsilon_1}{|x_n+8|}>0$ неубедительно?
Я решал эту задачу по-другому: $\displaystyle |x_n-2|<|x_n-2| \cdot |x_n+8|< \varepsilon \ \Rightarrow \ |x_n-2|< \varepsilon$ , т.к. при $\displaystyle x_n>0$ всегда $\displaystyle |x_n+8|>0$ . А этот способ придумал лишь как иллюстрацию к вопросу, содержащемуся в первом сообщении данной темы.

Ian · Сообщение **Ian** » 01 авг 2012, 18:59

Ellipsoid писал(а):Source of the post
....
т.к. при $\displaystyle x_n>0$ всегда $\displaystyle |x_n+8|>0$ .

используйте, что $$|x_n+8|>8$$

, тогда что-то выйдет. Выражение эпсилонов одного через другой не должно зависеть от n.
И пишите по возможности полный вариант док-ва исправленный, долго что ль из постов накопипастить.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 01 авг 2012, 19:23

Хм... При $\displaystyle x_n+8 \geq 0$ имеем $\displaystyle x_n+8>0$ , значит, $\displaystyle x_n>-8$ . При $\displaystyle x_n+8<0$ получим $\displaystyle -x_n-8>0$ . Значит, $\displaystyle x_n<-8$ . Тогда $\displaystyle |x_n+8|>0 \ \Leftrightarrow \ x_n \in \mathbb{R}\setminus\{-8\}$ . Но если $\displaystyle x_n>0$ , то $\displaystyle x_n \not=-8$ . :search:

Хотя... Ведь из $\displaystyle x_n>0$ не следует, что $\displaystyle x_n\in \mathbb{R} \setminus\{-8\}$ .

Ian · Сообщение **Ian** » 02 авг 2012, 07:33

Я, не прочитав всего поста, взялся Вас поправлять. А эффективнее было бы поправить так:

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Я решал эту задачу по-другому: $\displaystyle |x_n-2|<|x_n-2| \cdot |x_n+8|< \varepsilon \ \Rightarrow \ |x_n-2|< \varepsilon$ , т.к. при $\displaystyle x_n>0$ всегда $\displaystyle |x_n+8|>0$ .

А надо было:

$\displaystyle |x_n-2|<|x_n-2| \cdot |x_n+8|< \varepsilon \ \Rightarrow \ |x_n-2|< \varepsilon$ , т.к. при $\displaystyle x_n>0$ всегда $\displaystyle |x_n+8|>1$ .

Найдите одно отличие, и почему Ваш текст неверен а мой верный.
Поэтому и прошу полный текст док-ва помещать, исправив старые опечатки и про них забыв

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 02 авг 2012, 08:02

Ian писал(а):Source of the post
Выражение эпсилонов одного через другой не должно зависеть от n.

Ellipsoid вот я об этом и говорю - должно выполняться для всех n>N.

yourdomain.com