Три черепахи А, В и С в начальный момент времени расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а и начинают движение с постоянной скоростью V каждая по направлению к черепахе, находящейся справа, сохраняя направление движения на эту черепаху. Составить дифференциальное уравнение траектории черепахи А.
Не то, чтобы у меня не было никаких мыслей, но они не приводят к адекватным результатам. К тому же нету ответа для задачи от составителя.
Поэтому прошу ваших рекомендаций по решению.
Задача на составление диф. уравнения
-
- Сообщений: 802
- Зарегистрирован: 20 сен 2009, 21:00
Задача на составление диф. уравнения
Последний раз редактировалось Freeman-des 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача на составление диф. уравнения
Будет легко в полярных координатах с центром в центре начального треугольника.Тогда в каждый момент они тоже в вершинах равностороннего, из симметрии, и вектор скорости образует угол 150 град. с радиус вектором.
И судя по ответу, в иных координатах будет нелегко.
И судя по ответу, в иных координатах будет нелегко.
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача на составление диф. уравнения
Разложите вектор скорости на две составляющие: радиальную и тангенциальную. Одна даст скорость изменения расстояния черепахи до центра 3-ка, другая - скорость вращения. Исключить потом время из этих двух соотношений не составляет труда.
Последний раз редактировалось ALEX165 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 802
- Зарегистрирован: 20 сен 2009, 21:00
Задача на составление диф. уравнения
Думал, думал... Нет - полное отсутствие опыта решения подобных задач (даже с вашими подсказками) не позволяет достичь нужного результата.
Помимо прочего к задаче прилагается рисунок:
![Изображение](http://storage6.static.itmages.ru/i/12/0407/s_1333807063_6100270_97cfb84887.jpeg)
Думаю, имеется ввиду работа именно с декартовой системой, а не полярной.
Помимо прочего к задаче прилагается рисунок:
![Изображение](http://storage6.static.itmages.ru/i/12/0407/s_1333807063_6100270_97cfb84887.jpeg)
Думаю, имеется ввиду работа именно с декартовой системой, а не полярной.
Последний раз редактировалось Freeman-des 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача на составление диф. уравнения
Freeman-des писал(а):Source of the post
Думаю, имеется ввиду работа именно с декартовой системой, а не полярной.
Не стоит усложнять себе задачу.
Кстати, рисунок не очень хороший, там 3-к равнобедренный, но явно не равносторонний.
Последний раз редактировалось ALEX165 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 802
- Зарегистрирован: 20 сен 2009, 21:00
Задача на составление диф. уравнения
Извините. Рисовал, старался.
Просто я не уверен, что при работе с полярной системой там получатся производные.
А ведь главная задаче - не траектория, а диффура, т.к. это из соответствующего задачника.
Просто я не уверен, что при работе с полярной системой там получатся производные.
А ведь главная задаче - не траектория, а диффура, т.к. это из соответствующего задачника.
Последний раз редактировалось Freeman-des 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача на составление диф. уравнения
Аяяй. Дифуры (системы) первого порядка переводятся из декартовой в криволинейную всегда, просто на матрицу Якоби умножаютсяFreeman-des писал(а):Source of the post Просто я не уверен, что при работе с полярной системой там получатся производные.
Показываю.
Мы с Алексом имели в виду систему (ну или дифур отдвухкомпонентного вектора
Дифференцируем формулы перехода от декартовых к полярным
А получится спираль конечной длины и бесконечного числа оборотов, жалко животных:(
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача на составление диф. уравнения
Freeman-des писал(а):Source of the post
Просто я не уверен, что при работе с полярной системой там получатся производные.
А Вы попробуйте. Вот чему, например равно
Ian решил не тянуть кота за хвост.
Последний раз редактировалось ALEX165 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 802
- Зарегистрирован: 20 сен 2009, 21:00
Задача на составление диф. уравнения
Человек и собака находятся в начальный момент времени в точках А и В на расстоянии L друг от друга. Человек уходит от собаки со скоростью V по дороге, перпендикулярной к отрезку AB, а собака бежит по направлению к человеку со скоростью 2V. Составить ОДУ траектории собаки.
![Изображение](http://storage4.static.itmages.ru/i/12/0409/s_1333982073_9440336_7644f38f61.jpeg)
Видимо, в этой задаче также нужно к криволинейным перейти. Полагаю, что скорость собаки будет скоростью изменения радиус-вектора, а проекция скорости человека будет характеризовать изменение угла.
![$$\frac {d r} {d t}=2V$$ $$\frac {d r} {d t}=2V$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7Bd%20r%7D%20%7Bd%20t%7D%3D2V%24%24)
![$$\frac {d \phi} {d t}=\frac {V} {r}Cos(\phi) $$ $$\frac {d \phi} {d t}=\frac {V} {r}Cos(\phi) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7Bd%20%5Cphi%7D%20%7Bd%20t%7D%3D%5Cfrac%20%7BV%7D%20%7Br%7DCos%28%5Cphi%29%0A%24%24)
Но что дальше?
И уточняющий вопрос по первому примеру. Мы же должны проинтегрировать два первых равенства, чтобы подставить значения угла и радиуса в последующие формулы? А куда константы деваются?
![Изображение](http://storage4.static.itmages.ru/i/12/0409/s_1333982073_9440336_7644f38f61.jpeg)
Видимо, в этой задаче также нужно к криволинейным перейти. Полагаю, что скорость собаки будет скоростью изменения радиус-вектора, а проекция скорости человека будет характеризовать изменение угла.
Но что дальше?
И уточняющий вопрос по первому примеру. Мы же должны проинтегрировать два первых равенства, чтобы подставить значения угла и радиуса в последующие формулы? А куда константы деваются?
Последний раз редактировалось Freeman-des 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача на составление диф. уравнения
У меня получается ![$$\frac{dy}{dx}=\frac{Vt-y(t)}{L-x(t)}, {x'}^2+{y'}^2=4V^2, x(0)=y(0)=0$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{Vt-y(t)}{L-x(t)}, {x'}^2+{y'}^2=4V^2, x(0)=y(0)=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7BVt-y%28t%29%7D%7BL-x%28t%29%7D%2C%20%7Bx%26%2339%3B%7D%5E2%2B%7By%26%2339%3B%7D%5E2%3D4V%5E2%2C%20x%280%29%3Dy%280%29%3D0%24%24)
Последний раз редактировалось Hottabych 28 ноя 2019, 16:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Математический анализ»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей