Доказать тождество
Доказать тождество
Как можно доказать такое тождество?
![$$\frac {1} {n}\sum\limits_{j=1}^{n}{\frac{1}{\alpha ^{2}-2\alpha \cos \left( \frac{2\pi (j-1)}{n} \right)+1}=\frac{\alpha ^{n}+1}{\left( 1-\alpha ^{n} \right)\left( 1-\alpha ^{2} \right)}} $$ $$\frac {1} {n}\sum\limits_{j=1}^{n}{\frac{1}{\alpha ^{2}-2\alpha \cos \left( \frac{2\pi (j-1)}{n} \right)+1}=\frac{\alpha ^{n}+1}{\left( 1-\alpha ^{n} \right)\left( 1-\alpha ^{2} \right)}} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7Bn%7D%5Csum%5Climits_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha%20%5E%7B2%7D-2%5Calpha%20%5Ccos%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20%28j-1%29%7D%7Bn%7D%20%5Cright%29%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Calpha%20%5E%7Bn%7D%2B1%7D%7B%5Cleft%28%201-%5Calpha%20%5E%7Bn%7D%20%5Cright%29%5Cleft%28%201-%5Calpha%20%5E%7B2%7D%20%5Cright%29%7D%7D%0A%24%24)
Последний раз редактировалось Vector 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
Какие ограничения на
? Скажем, для
и
равенство не выполняется.
Последний раз редактировалось fri739 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
Ещё. Левая часть непрерывна при любых
, а правая нет. При n=2 равенство не выполняется ни при каком ![$$\alpha$$ $$\alpha$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Calpha%24%24)
Последний раз редактировалось bot 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
bot писал(а):Source of the post
Ещё. Левая часть непрерывна при любых, а правая нет. При n=2 равенство не выполняется ни при каком
Прошу прощения, пропустил сомножитель
Последний раз редактировалось Vector 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
Не спасает. Найдутся такие
, при которых
Возьмём
, например
и рассмотрим предел левой и правой части при
. Левый существует, а правый нет.
Возьмём
Последний раз редактировалось bot 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
А вообще, если там действительно есть верное соотношение, то это 2 дробно-рациональные функции. Можно их рассмотреть от переменной
: каждая дробно-рациональная функция определяется множеством нулей и полюсов (с кратностями) и константой. Находим нули и полюсы выражения слева и справа (можно предварительно упростить) и находим константы и сравниваем.
Последний раз редактировалось Sonic86 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
через комплексные числа записал, может, поможет
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
Левую часть можно рассматривать как интегральную сумму. Тогда переходя к пределу получим
![$$\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{n\to \infty}\frac {2\pi} {n}\sum\limits_{j=1}^{n}{\frac{1}{a^{2}-2a \cos \left( \frac{2\pi (j-1)}{n} \right)+1}= \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{dx}{a^2-2a\cos x+1}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{dx}{a^2-2a\cos x+1}=\ldots$$ $$\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{n\to \infty}\frac {2\pi} {n}\sum\limits_{j=1}^{n}{\frac{1}{a^{2}-2a \cos \left( \frac{2\pi (j-1)}{n} \right)+1}= \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{dx}{a^2-2a\cos x+1}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{dx}{a^2-2a\cos x+1}=\ldots$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%20%7B2%5Cpi%7D%20%7Bn%7D%5Csum%5Climits_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E%7B2%7D-2a%20%5Ccos%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20%28j-1%29%7D%7Bn%7D%20%5Cright%29%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Ba%5E2-2a%5Ccos%20x%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint%5Climits_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Ba%5E2-2a%5Ccos%20x%2B1%7D%3D%5Cldots%24%24)
![$$= \frac{1}{\pi |a^2-1|}\arctg \left(\left|\frac{a+1}{a-1}\right|\tg\frac{x}{2}\right)\left|\limits_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{|a^2-1|}$$ $$= \frac{1}{\pi |a^2-1|}\arctg \left(\left|\frac{a+1}{a-1}\right|\tg\frac{x}{2}\right)\left|\limits_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{|a^2-1|}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%20%7Ca%5E2-1%7C%7D%5Carctg%20%5Cleft%28%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba%2B1%7D%7Ba-1%7D%5Cright%7C%5Ctg%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Cright%29%5Cleft%7C%5Climits_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Ca%5E2-1%7C%7D%24%24)
При
этот предел совпадает с пределом правой части, то есть в качестве приближённого равенства при больших n его рассматривать можно. Про конечное
уже сказал.
Проверяйте.
Upd. Исправил свой косяк со знаком.
При
Проверяйте.
Upd. Исправил свой косяк со знаком.
Последний раз редактировалось bot 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
Хм, а ведь прощёлкал - в
Последний раз редактировалось bot 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать тождество
Сумма, похожа на обратное ДПФ.
Последний раз редактировалось Vector 28 ноя 2019, 17:54, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Математический анализ»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей