yourdomain.com

нашла свои институтские тетрадки, и что-то у меня не стыкуется, требуется ваша помощь, други.. ведь сами знаете, как быстро все забывается, с чем не сталкиваешься долго...

сначала пару глупых вопросов просто на основные моменты. Если не сложно, напомните какие-то главные правила, чтоб все в голове вернулось на свои места..

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\frac {x^2-1} {x^2+3x-4}}=\lim \limits_{x \to 1} {\frac {(x-1)(x+1)} {(x-1)(x+4}}=\lim \limits_{x \to 1} {\frac {x+1} {x+4}}=\frac {2} {5}$
я вот вообще не понимаю - почему такой переход, почему к 1... почему нельзя было просто найти пределы от числителя и знаменателя и просто поделить? почему не $\displaystyle \frac {1} {4}$ . Или это у меня какой-то бред почему-то написан? или первый предел тоже к 1 был???
да, уже почти уверена, что это описка была в первом пределе...
А вспоминать с таким бредом ещё хуже.. начинаешь вообще во всем сомневаться...

Лопиталить ведь можно только если в числителе и в знаменателе функции, пределы которых равны 0 или $\infty$ ? да?
вот если например такой предел:
$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\frac {-6x^3} {x^2+2x+5}}=\frac {0} {5}=0$
он просто равен 0?

и вот застряли на 513 из Демидовича:

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(\frac {x^2+2x-1} {2x^2-3x-2}\right)^{\frac {1} {x}}}=\lim \limits_{x \to 0} {\left(1+\frac {-x^2+5x+1} {2x^2-3x-2}\right)^{\frac {1} {x}}}$

а предел

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\frac {-x^2+5x+1} {2x^3-3x^2-2x}}$
вроде как $\infty$ ?

а у Демидовича в ответе 1... т.е последний предел 0 д.б...

myn писал(а):Source of the post
$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\frac {x^2-1} {x^2+3x-4}}=\lim \limits_{x \to 1} {\frac {(x-1)(x+1)} {(x-1)(x+4}}=\lim \limits_{x \to 1} {\frac {x+1} {x+4}}=\frac {2} {5}$

Тут первый нолик внизу опечатка. читать что 1

Лопиталить ведь можно только если в числителе и в знаменателе функции, пределы которых равны 0 или $\infty$ ? да?

да

вот если например такой предел:
$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\frac {-6x^3} {x^2+2x+5}}=\frac {0} {5}=0$
он просто равен 0?

да

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(\frac {x^2+2x-1} {2x^2-3x-2}\right)^{\frac {1} {x}}}=\lim \limits_{x \to 0} {\left(1+\frac {-x^2+5x+1} {2x^2-3x-2}\right)^{\frac {1} {x}}}$

Здесь посто нредел основания равен $\frac 12$ а показатель... если к плюс бесконечности, то предел всей функции 0, а если к минус, то бесконечность. значит, если не сказано, $$x>0$$

или

, тогда не существует предела этой функции

а предел

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\frac {-x^2+5x+1} {2x^3-3x^2-2x}}$
вроде как $\infty$ ?

а у Демидовича в ответе 1... т.е последний предел 0 д.б...

Не существует, $\pm\infty$ предельное множество

Ian, спасибо большое за первые ответы, успокоили

...а вот непонятки пошли:

Ian писал(а):Source of the post
$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(\frac {x^2+2x-1} {2x^2-3x-2}\right)^{\frac {1} {x}}}=\lim \limits_{x \to 0} {\left(1+\frac {-x^2+5x+1} {2x^2-3x-2}\right)^{\frac {1} {x}}}$
Здесь посто нредел основания равен $\frac 12$ а показатель... если к плюс бесконечности, то предел всей функции 0, а если к минус, то бесконечность. значит, если не сказано, или , тогда не существует предела этой функции

а предел

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\frac {-x^2+5x+1} {2x^3-3x^2-2x}}$
вроде как $\infty$ ?

а у Демидовича в ответе 1... т.е последний предел 0 д.б...
Не существует, $\pm\infty$ предельное множество

разве такие пределы не приводятся ко второму замечательному? и тут ведь предел к нулю стремится.. почему не существует?

например вот такие пределы верно?:

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left( \frac {x^2-x+5} {x^2+2x+5}\right)^{2x^2}}=\lim \limits_{x \to 0} {\left(1+\frac {-3x} {x^2+2x+5}\right)^{2x^2}}=e^0=1$

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(1-2x\right)^{\frac {1} {x}}=e^{-2}$

$\displaystyle \lim \limits_{x \to \infty} {\left(\frac {x^2-1} {x^2+1}\right)^{\frac {x-1} {x+1}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\left(1-\frac {2} {x^2+1}\right)^{\frac {x-1} {x+1}}=e^0=1$

Вот на этих примерах все и увидим.

myn писал(а):Source of the post
разве такие пределы не приводятся ко второму замечательному? и тут ведь предел к нулю стремится.. почему не существует?

например вот такие пределы верно?:

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left( \frac {x^2-x+5} {x^2+2x+5}\right)^{2x^2}}=\lim \limits_{x \to 0} {\left(1+\frac {-3x} {x^2+2x+5}\right)^{2x^2}}=e^0=1$

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(1-2x\right)^{\frac {1} {x}}=e^{-2}$

$\displaystyle \lim \limits_{x \to \infty} {\left(\frac {x^2-1} {x^2+1}\right)^{\frac {x-1} {x+1}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\left(1-\frac {2} {x^2+1}\right)^{\frac {x-1} {x+1}}=e^0=1$

Тут только 2й верно, 1й неверное решение с верным ответом, а 3е неверно многократно.
Определение 2го замечательного надо перечитать

Впрочем, 3й ответ верен но случайно. В 1й и 3й задаче второй зам.предел ни при чем, можно использовать такую теорему:
Пусть $$f(x)>0$$

и

функции непрерывные в точке $$a$$

(либо $a=\infty$ и обе имеют там конечные пределы, назовем их тоже $$f(a)$$

и

). Тогда $\lim_{x\to a}(f(x))^{g(x)}=f(a)^{g(a)}$ кроме того случая когда $f(a)^{g(a)}$ неопределенность $$0^0$$

Логарифмированием доказывается, в некоторых методичках видел

Ian писал(а):Source of the post
Тут только 2й верно, 1й неверное решение с верным ответом, а 3е неверно многократно.
Определение 2го замечательного надо перечитать

Впрочем, 3й ответ верен но случайно. В 1й и 3й задаче второй зам.предел ни при чем,

не пугайте меня уж совсем.. что, нас учили неправильно??:

myn, решил 8 и 9, ответы аналогичны вашим, так что вроде верно Вас учили, ну и меня учат))

спасибо, а Вы как их находили?

но мне все же важно, что имел в виду Ian...

а как подступиться к таким пределам? больно уж радикалы противные.. квадратные корни ещё как-то легко обычно раскладываются... а тут?

$\lim \limits_{x \to +\infty} {\left( x^7 \left(\sqrt[7]{x^{14}+22x^5}-\sqrt[7]{x^{14}+x^5} \right)\right)}$

Сводил ко второму замечательному пределу, а в последнем попробовал бы вынести x^14 из под корня

Doberman писал(а):Source of the post
а в последнем попробовал бы вынести x^14 из под корня

да-да, там ноль получается... спасибо

или не ноль? если бесконечность умножается на ноль это же ноль?

Что имел в виду то и написал. У любой задачки существует один правильный ответ. Если в нем в явном виде стоит е, то это е никакими другими способами студент не вытащит, как только 2м замечательным. Конечно, решения 8 и 9 и оптимальны и правильны.
Но из тех трех примеров: в первом подставить х=0 сразу никто не попробовал???
А в третьем поделить дроби на степени х почленно и "подставить" бесконечность, выйдет $$1^1$$