yourdomain.com

Подскажите пожалуйста, можно ли взять такой интеграл аналитически, или как его можно выразить через не элементарные функции?

$\int_{t_1}^{t_2}(e^-\frac {x^2} {2c^2}) \frac {1} {1+e^-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt{3}}}{dx}$

Спасибо!

Vector писал(а):Source of the post
Подскажите пожалуйста, можно ли взять такой интеграл аналитически, или как его можно выразить через не элементарные функции?

$\int_{t_1}^{t_2}(e^{-\frac {x^2} {2c^2}}) \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt{3}}}}{dx}$

Спасибо!

Ну вроде бы можно разложить в ряд вида

$\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{t_1}^{t_2}{A_n\frac {x^n} {ch(x)}dx}}$

Но это наверное не подойдет.

Vector писал(а):Source of the post
$\int_{t_1}^{t_2}(e^{-\frac {x^2} {2c^2}}) \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx$

$\displaystyle \\=\int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}dx-\int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}*e^{-\frac {\pi (a - bx)}{\sqrt 3}} \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx=\\=c\sqrt {2\pi}(F(t_2/c)-F(t_1/c))-c\sqrt{2\pi}e^{-\frac{\pi a}{\sqrt 3}-\frac{\pi^2b^2c^2}6}(F(t_2+\frac{\pi bc^2}{\sqrt 3})-F(t_1+\frac{\pi bc^2}{\sqrt 3}))$
, где F функция распределения Гаусса, с точностью до $\sqrt 2$ в аргументе =erf

Ian писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
$\int_{t_1}^{t_2}(e^{-\frac {x^2} {2c^2}}) \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx$
$\displaystyle \\=\int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}dx-\int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}*e^{-\frac {\pi (a - bx)}{\sqrt 3}} \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx=\\=c\sqrt {2\pi}(F(t_2/c)-F(t_1/c))-c\sqrt{2\pi}e^{-\frac{\pi a}{\sqrt 3}-\frac{\pi^2b^2c^2}6}(F(t_2+\frac{\pi bc^2}{\sqrt 3})-F(t_1+\frac{\pi bc^2}{\sqrt 3}))$
, где F функция распределения Гаусса, с точностью до $\sqrt 2$ в аргументе =erf

Подскажите пожалуйста, а как вы представили

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}*e^{-\frac {\pi (a - bx)}{\sqrt 3}} \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx$

чтобы выразить его как разницу интегралов вероятности?

В показателе экспоненты квадратный трехчлен, в нем выделить полный квадрат

А, понял, знаменатель. Думать надо

Ian писал(а):Source of the post
В показателе экспоненты квадратный трехчлен, в нем выделить полный квадрат

А, понял, знаменатель. Думать надо

А если этот интеграл представить так,

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}*e^{-\frac {\pi (a - bx)}{\sqrt 3}} \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx = {\frac {1} {2}} \int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}}dx + {\frac {1} {2}} \int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}} \th(\frac {a-bx} {2} )}dx$

может тогда, кто-то что-то увидит? Спасибо за внимание!

Vector писал(а):Source of the post
Подскажите пожалуйста, можно ли взять такой интеграл аналитически, или как его можно выразить через не элементарные функции?
$\int_{t_1}^{t_2}(e^-\frac {x^2} {2c^2}) \frac {1} {1+e^-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt{3}}}{dx}$

Нет интеграл в элементарных функциях не выражается.

vicvolf писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
Подскажите пожалуйста, можно ли взять такой интеграл аналитически, или как его можно выразить через не элементарные функции?
$\int_{t_1}^{t_2}(e^-\frac {x^2} {2c^2}) \frac {1} {1+e^-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt{3}}}{dx}$

Нет интеграл в элементарных функциях не выражается.

Через интегралы гаусса и т.п. вполне подходит! Может стоить через тангенс гиперболический уйти в комплексную алгебру?

yourdomain.com

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Подскажите, берется ли интеграл аналитически?