Бесконечное произведение

JeffLebovski

Вычислить предел: $\lim\limits_{x\to 1-}\prod\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}$

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 19 апр 2011, 05:08

Прологарифмируйте, внесите предел внутрь суммы, затем упростите логарифм частного через эквивалентную бесконечно малую (вроде не ошибся).

mihailm · Сообщение **mihailm** » 19 апр 2011, 09:21

Прикольный предел, где такие выдают?)
A икс стремится именно к единице слева, просто не вижу разницы между стремлением к 1 справа
a может икс стремится к нулю?

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 19 апр 2011, 20:12

JeffLebovski писал(а):Source of the post
Вычислить предел: $\lim\limits_{x\to 1-}\prod\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}$

$\lim\limits_{x\to 1-}\prod\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}=A$
$lnA=ln(lim\limits_{x\to 1-}\prod\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n})=$
$lim(ln\limits_{x\to 1-}\prod\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n})=$

$\lim \limits_{x \to 1-} {\sum_{n=0}^{\infty}{x^nln(\frac {1+x^{n+1}} {1+x^n})}}=$

$\sum_{n=0}^{\infty}{\lim \limits_{x \to 1-} {x^n ln(\frac {1+x^{n+1}} {1+x^n})}}=$

1ln1+1ln1+...+1ln1+...=0
lnA=0
A=1

Ludina · Сообщение **Ludina** » 19 апр 2011, 20:26

Я немного не понял задачи. Подставьте вместо икса единицу и получите бесконечное произведение единиц. B ответе, естественно, единица. B чем я ошибся? почему ни так?

Azag Magnus · Сообщение **Azag Magnus** » 19 апр 2011, 22:15

Ludina писал(а):Source of the post
Подставьте вместо икса единицу и получите бесконечное произведение единиц. B ответе, естественно, единица.

B этом случае в ответе получается неопределенное выражение $1^{\infty}$ .

JeffLebovski

Решение(©Автор):
$L:=\lim\limits_{x\to 1^-}\prod\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^{n}}\right)^{x^{n}}; y_n(x):=\ln\left(1+x^n\right)$ . $\ln(L) = \lim_{x \rightarrow 1^-} \sum_{n=0}^\infty \left(1-\mathrm{e}^{y_n(x)}\right)\left(y_{n}(x)-y_{n+1}(x)\right)\)$
$\int_{0}^{\ln(2)} \left(1-\mathrm{e}^y\right)\;\mathrm{d}y = \ln(2)-1$
$L = \frac{2}{\mathrm{e}}.$
Sonic86, вы это имели ввиду?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 20 апр 2011, 08:37

JeffLebovski писал(а):Source of the post
Решение(©Автор):
$L:=\lim\limits_{x\to 1^-}\prod\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^{n}}\right)^{x^{n}}; y_n(x):=\ln\left(1+x^n\right)$ . $\ln(L) = \lim_{x \rightarrow 1^-} \sum_{n=0}^\infty \left(1-\mathrm{e}^{y_n(x)}\right)\left(y_{n}(x)-y_{n+1}(x)\right)\)$
$\int_{0}^{\ln(2)} \left(1-\mathrm{e}^y\right)\;\mathrm{d}y = \ln(2)-1$
$L = \frac{2}{\mathrm{e}}.$
Sonic86, вы это имели ввиду?

Нет, я имел ввиду именно то, что написал, но тогда получается 0.
Проверил эмпирически в Excel - mihailm прав: в условии задачи должно быть $x \to 0 +$

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 20 апр 2011, 10:17

Sonic86 писал(а):Source of the post
Проверил эмпирически в Excel - mihailm прав: в условии задачи должно быть $x \to 0 +$

Нет условие верное! Есть замечания по решению в посте 4?

Ludina · Сообщение **Ludina** » 20 апр 2011, 10:29

Есть замечания по решению в посте 4?

B этом случае в ответе получается неопределенное выражение $1^{\infty}$

та же проблема, что и c моим решением

yourdomain.com