Последовательность

JeffLebovski

$\{ a_n\}$ - последовательность вещественных чисел. Известно, что для всякого $\phi \in (1,2)$ последовательность $\{ a_{[\phi ^n]} \}$ сходится. Сходится ли последовательность $\{a_n \}?$

mihailm · Сообщение **mihailm** » 17 апр 2011, 20:16

мало верится что сходится)

JeffLebovski

мало верится что сходится)

Это, конечно, хорошо, но мне бы это доказать.... или хотя бы подсказку дайте

Ludina · Сообщение **Ludina** » 17 апр 2011, 20:30

Что насчет такого примера? фи=1,5
$$\sum_{n=1}^{}{\frac{1}{ôè^n}}$$
эта последовательность сходится, a вот
$\sum_{n=1}^{}{\frac{1}{n}}$
расходится.
Я правильно понял условие?

mihailm · Сообщение **mihailm** » 17 апр 2011, 20:33

Приходят в голову частные суммы какого нибудь ряда,
правда детали никак не укладываются)

JeffLebovski

Ludina писал(а):Source of the post
Что насчет такого примера? фи=1,5

Там же целая часть, не разойдётся ли $\sum\limits_{n=1}^{}{\frac{1}{\phi^n}}$ ?

Ludina · Сообщение **Ludina** » 17 апр 2011, 20:46

Если фи больше 1 не разойдется, если меньше или равно - разойдется.

JeffLebovski

Точна
Ну если так, то вы полсдеовательность $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac1n$ брали?

A может ли существовать такой сходящийся ряд?

Ludina · Сообщение **Ludina** » 17 апр 2011, 21:08

A может ли существовать такой сходящийся ряд?

Может, например
$$\sum_{n=1}^{}{\frac{1}{ôè^{2n}}$$
сходится и последовательность
$\sum_{n=1}^{}{\frac{1}{n^{2}}}$
тоже сходится.

По поводу первого Вашего вопрос не очень понял, что именно хотите узнать
Кстати, у Bac там суммирование ведется по k, a под знаком суммы стоит n.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 18 апр 2011, 10:12

JeffLebovski писал(а):Source of the post
Там же целая часть, не разойдётся ли $\sum\limits_{n=1}^{}{\frac{1}{\phi^n}}$ ?

не разойднтся эта сумма бесконечной геометрической програсси co знаменателем 1/1,5=2/3<1

yourdomain.com