Критерий Коши СПФ
Добавлено: 12 янв 2011, 16:31
Здравствуйте! Мне было очень грустно читать доказательство достаточности критерия в книжках по матанализу(казалось слишком запутанным) и я попробовал получить своё доказательно. B результате получилось меньше чем в книге. Я подозреваю, что где-то допустил неточность.
Вот оно:
Достаточность:
Допустим, что
![$$\forall n,m>N: |x_n-x_m|<\epsilon$$ $$\forall n,m>N: |x_n-x_m|<\epsilon$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cforall%20n%2Cm%3EN%3A%20%7Cx_n-x_m%7C%3C%5Cepsilon%24%24)
Выберем произвольное
и выберем элементы, которые удовлетворяют условию.
Получаем множество, состоящее из бесконечного количества элементов.
Выберем любой элемент
.
Из условия (*) следует, что все элементы лежат между
и ![$$b_1=x_{n0}+\epsilon$$ $$b_1=x_{n0}+\epsilon$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b_1%3Dx_%7Bn0%7D%2B%5Cepsilon%24%24)
Имеем промежуток![$$ [a_1,b_1]$$ $$ [a_1,b_1]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Ba_1%2Cb_1%5D%24%24)
Далее уменьшим
и выберем подмножество элементов, которые снова удовлетворяют условию.
Выберем
за тем же правилом, что и ![$$a_1,b_1$$ $$a_1,b_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a_1%2Cb_1%24%24)
Имеем промежуток![$$ [a_2,b_2]$$ $$ [a_2,b_2]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Ba_2%2Cb_2%5D%24%24)
Повторяем процедуру, постепенно уменьшая![$$\epsilon$$ $$\epsilon$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cepsilon%24%24)
B результате имеем бесконечною последовательность последовательно вложенных промежутков.
При этом ,так как длина промежутка=![$$2\epsilon$$ $$2\epsilon$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242%5Cepsilon%24%24)
![$$\to \lim {|b_n-a_n|}=0$$ $$\to \lim {|b_n-a_n|}=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cto%20%5Clim%20%7B%7Cb_n-a_n%7C%7D%3D0%24%24)
Существование границы следует из леммы o вложенных отрезках.
Теорема доказана.
Или нет?)
ПС. Как вы пишете Latexом? Я чуть не умер пока расставлял кучу MATH(
Вот оно:
Достаточность:
Допустим, что
Выберем произвольное
Получаем множество, состоящее из бесконечного количества элементов.
Выберем любой элемент
Из условия (*) следует, что все элементы лежат между
Имеем промежуток
Далее уменьшим
Выберем
Имеем промежуток
Повторяем процедуру, постепенно уменьшая
B результате имеем бесконечною последовательность последовательно вложенных промежутков.
При этом ,так как длина промежутка=
Существование границы следует из леммы o вложенных отрезках.
Теорема доказана.
Или нет?)
ПС. Как вы пишете Latexом? Я чуть не умер пока расставлял кучу MATH(