Решить дифур

s2009_33 · Сообщение **s2009_33** » 22 дек 2010, 12:54

Вот такое уравнение:
$\frac {dy} {dx}=\frac {y} {x}-\frac {x} {y}$
Есть мысли, что сводится к уравнению в полных дифференциалах, но пока безуспешно

12d3 · Сообщение **12d3** » 22 дек 2010, 13:06

Однородное уравнение, замена $\frac y x = u$

s2009_33 · Сообщение **s2009_33** » 22 дек 2010, 13:15

12d3 писал(а):Source of the post
Однородное уравнение, замена $\frac y x = u$

Спасибо большое!

da67 · Сообщение **da67** » 22 дек 2010, 14:37

12d3 прав, но можно и в полных дифференциалах, если очень хочется:

$\displaystyle \frac {dy} {dx}=\frac {y} {x}-\frac {x} {y}$

$\displaystyle xydy=(y^2-x^2)dx$

$\displaystyle xydy-y^2dx=-x^2dx$

$\displaystyle x^22ydy-y^22xdx=-2x^3dx$

$\displaystyle \frac{x^2d(y^2)-y^2d(x^2)}{x^4}=-2\frac{dx}{x}$

$\displaystyle d\left(\frac{y^2}{x^2}\right)+2\frac{dx}{x}=0$

$\displaystyle \frac{y^2}{x^2}+\ln x^2=C$

Iguana · Сообщение **Iguana** » 22 дек 2010, 15:25

Пишу в эту же тему

Решал свое уравнение, получил такой вот интегралец)
$\int_{}^{}{2xcos^2xe^c^o^s^xdx}$

Уравнение такое:
y'cosx+ysinx=2xcos²x
Решил тривиально - сначала однородное, потом подбором константы.
Может как-то "хитрее" можно, чтобы до этого интеграла не доходить?

[

Iguana · Сообщение **Iguana** » 22 дек 2010, 15:53

Мыслей нет??
Интеграл , убедился, неберущийся...

Asfelen · Сообщение **Asfelen** » 22 дек 2010, 16:00

C формулами еще не освоился не ругайте, делим на косинус, решаем однородное получаем

y=c(x)*cos(x) далее подставляем c(x)=X^2+c

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 22 дек 2010, 16:53

Iguana писал(а):Source of the post
Уравнение такое:
y'cosx+ysinx=2xcos²x

He знаю, мы всегда такие решали подстановкой $$y=uv$$

, я попробовал, никаких страшных интегралов там не получается, простой ответ.

V.V. · Сообщение **V.V.** » 22 дек 2010, 17:37

Решайте вариацией произвольной постоянной, всё получится.

da67 · Сообщение **da67** » 23 дек 2010, 10:07

Можно и хитрее
$\displaystyle y'\cos x+y\sin x=2x\cos^2 x$

$\displaystyle \frac{y'\cos x-y(-\sin x)}{\cos^2 x}=2x$

$\displaystyle \left(\frac{y}{\cos x}\right)'=2x$

yourdomain.com