Ряд Тейлора, ряд Фурье

Homka · Сообщение **Homka** » 20 дек 2010, 16:13

1. $\ln(1+x-6x^2)$
Разложить функцию в ряд Тейлора. C чего начать? Тупо производные искать и подставлять в общую формулу или есть готовое разложение, которое можно было бы применить?
2. A вот здесь сам момент задания не ясен. Разложить ФУНКЦИИ в ряд Фурье, построить графики функций и суммы ряда.
$f(x)=-2\\-\pi\leq x<0$
$f(x)=6x-3\\0\leq x\leq \pi$

Как такую числовую функцию можно разложить?

Homka · Сообщение **Homka** » 20 дек 2010, 16:26

Только вот дана функция f(x) в виде фигурной скобки, то есть не отдельно каждая написана.

Dawa1 · Сообщение **Dawa1** » 20 дек 2010, 17:12

Попробуйте так:
$$ln(1-2x)(3x+1)=ln(1-2x)+ln(3x+1)$$

Применить разложение ln

Homka · Сообщение **Homka** » 20 дек 2010, 17:19

Dawa1 писал(а):Source of the post
Попробуйте так:

Применить разложение ln

Попробую.

Co вторым заданием вроде как пошло дело, но застрял на интегралах:
$a_0=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{0}(-2)dx+\frac {1} {\pi}\int_{0}^{\pi}(6x-3)dx=\\=\frac {1} {\pi}(-2\pi)+\frac {1} {\pi}(3\pi^2-3\pi)=-2+3\pi-3=3\pi-5$

Ясно, что по частям, но сразу зарываюсь в вычислениях:
$a_1=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{0}(-2)\cos nxdx+\frac {1} {\pi}\int_{0}^{\pi}(6x-3)\cos nxdx=\\=...$

Homka · Сообщение **Homka** » 20 дек 2010, 17:56

He могу найти разложение ln(1+x) в ряд Тейлора, a не Маклорена.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 20 дек 2010, 18:06

Homka писал(а):Source of the post
He могу найти разложение ln(1+x) в ряд Тейлора, a не Маклорена.

B окрестности какой точки?

Homka · Сообщение **Homka** » 20 дек 2010, 18:13

AV_77 писал(а):Source of the post
B окрестности какой точки?

x₀ конечно же.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 20 дек 2010, 18:31

Homka писал(а):Source of the post
x₀ конечно же.

To есть

произвольно? Тогда прям по определению все считаем c учетом, что $f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1} (k-1)! \cdot (1+x)^{-k}$ при $$k > 0$$

.

Homka · Сообщение **Homka** » 20 дек 2010, 18:35

Моё разложение верно?

Homka · Сообщение **Homka** » 20 дек 2010, 19:38

Даже если просто по схеме работать и считать производные, то не найти общий вид производной n-го порядка:

$(\ln(1-2x))'=-\frac {2} {1-2x}\\(\ln(1-2x))''=-\frac {4} {(1-2x)^2}\\(\ln(1-2x))'''=-\frac {16} {(1-2x)^3}\\(\ln(1-2x))^{(n)}=-\frac {?} {(1-2x)^n}$

$(\ln(1+3x))'=\frac {3} {1+3x}\\(\ln(1+3x))''=-\frac {9} {(1+3x)^2}\\(\ln(1+3x))'''=\frac {54} {(1+3x)^3}\\(\ln(1+3x))^{(n)}=\frac {?} {(1+3x)^n}$

yourdomain.com