Построить разностную схему методом баланса

persalena · Сообщение **persalena** » 15 дек 2010, 11:31

Доброго времени суток. Мне нужно построить схему 4-го порядка аппроксимации для следующей дифференциальной задачи:

$$-(k(x)u(x)')'=f(x)$$

$-k(x)u'|_{x=1}=u(1)-1$

Знаю, что строить нужно методом баланса.. Прочитала как это делается в теории, но на практике не получается.. Прошу помощи. Хочется разобраться.

Приведу формулы из учебника:

Формулы (1), (2) - сама задача

$\frac {d} {dx}(k(x)\frac {du} {dx}-q(x)u(x)=-f(x)$ (1)

$\{{u(0)=\mu_0 \\ u(1)=\mu_1}$ (2)

Далее там рассматривают конечный объем вида

$[x_{i-\frac {i} {2}},x_{i+\frac {i} {2}}]$

где

$x_{i-\frac {i} {2}}=x_i-1/2h$

$x_{i+\frac {i} {2}}=x_i+1/2h$

Далее по всей видимости интегрируют (1)

$W_{i-\frac {1} {2}}-W_{i+\frac{1}{2}}-\int_{x_{i-\frac {i} {2}}}^{x_{i+\frac {i} {2}}}{q(x)u(x)dx}+\int_{x_{i-\frac {i} {2}}}^{x_{i+\frac {i} {2}}}{f(x)dx}$ (3)

$\int_{x_{i-\frac {i} {2}}}^{x_{i+\frac {i} {2}}}{q(x)u(x)dx}=hd_iu_i$

$d_i=\frac {1} {h}\int_{x_{i-\frac {i} {2}}}^{x_{i+\frac {i} {2}}}{q(x)dx}$ (4)

$\int_{x_{i-\frac {i} {2}}}^{x_{i+\frac {i} {2}}}{f(x)dx}=h\phi_i$

$\phi_i = \frac {1} {h}\int_{x_{i-\frac {i} {2}}}^{x_{i+\frac {i} {2}}}{f(x)dx}$ (5)

Затем интегрируют уравнение теплового потока.

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac {W(x)} {k(x)}dx} = -\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac {du} {dx}dx}=-(u_i-u_{i-1})$

$W_{i-\frac {1} {2}}\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac {dx} {k(x)}} = -(u_i-u_{i-1})$

$\frac {W_{i-\frac {1} {2}}} {h}\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac {dx} {k(x)}} = -(u_{\dot{x },i})$

${W_{i-\frac {1} {2}}} = -a_i \frac {u_i-u_{i-1}} {h} = -(au_{\dot{ x}})_i$

$a_i = [\frac {1} {h}\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac {dx} {k(x)}}]^{-1}$

и в итоге получают следующую схему:

$\frac {1} {h}[a_{i+1}\frac {y_{i+1}-y_i} {h} - a_i\frac {y_{i}-y_{i-1}}{h}] - dy_i = -\phi_i$

Теперь o конкретно моей задаче:
как я понимаю, у меня все d_i [будут нулевыми, т.к q(x)
и задача заключается в нахождении a_i ? Для их нахождения нужно использовать ряд Тейлора? Так? Тогда что тут такое y_i?

yourdomain.com

Построить разностную схему методом баланса

Построить разностную схему методом баланса

Кто сейчас на форуме