Сходимость интеграла.

Fantazisto · Сообщение **Fantazisto** » 12 дек 2010, 17:32

Что нужно потребовать от функции f, чтобы
$\displaystyle \left|\int_a^b f(x)g_k(x)dx\right|\leq C \left|\int_a^b g_k(x)dx\right|$ для всех k.

fore · Сообщение **fore** » 12 дек 2010, 17:37

ограниченности?

Fantazisto · Сообщение **Fantazisto** » 12 дек 2010, 18:15

fore писал(а):Source of the post
ограниченности?

хотелось бы что-нибудь более значительного типо квадратичной интегрируемости...но мне вообще неясно пока это

Ian · Сообщение **Ian** » 12 дек 2010, 18:37

Это предельный случай неравенства Гельдера $|(f,g)|\leqslant||f||_{\infty}||g||_1$ , чтобы это выполнялось для всех $g\in L_1$ ,f должна быть почти всюду ограниченной

Fantazisto · Сообщение **Fantazisto** » 12 дек 2010, 18:59

Ian писал(а):Source of the post
Это предельный случай неравенства Гельдера $|(f,g)|\leqslant||f||_{\infty}||g||_1$ , чтобы это выполнялось для всех $g\in L_1$ ,f должна быть почти всюду ограниченной

B правой части неравенства модуль находится c внешней стороны интеграла, a не внутри...поэтому неравенство Гельдера не подходит.

Ian · Сообщение **Ian** » 12 дек 2010, 20:06

A так это не опечатка

Fantazisto писал(а):Source of the post
Что нужно потребовать от функции f, чтобы
$\displaystyle \left|\int_a^b f(x)g_k(x)dx\right|\leq C \left|\int_a^b g_k(x)dx\right|$ для всех k.

Потребовать, чтобы f=const. Иначе g может оказаться c нулевым интегралом, но интеграл от fg ненулевой

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 12 дек 2010, 22:37

Fantazisto писал(а):Source of the post
Что нужно потребовать от функции f, чтобы
$\displaystyle \left|\int_a^b f(x)g_k(x)dx\right|\leq C \left|\int_a^b g_k(x)dx\right|$ для всех k.

Здесь также интересно, что для любого k!

Fantazisto · Сообщение **Fantazisto** » 13 дек 2010, 01:54

Fantazisto писал(а):Source of the post
Что нужно потребовать от функции f, чтобы
$\displaystyle \left|\int_a^b f(x)g_k(x)dx\right|\leq C \left|\int_a^b g_k(x)dx\right|$ для всех k.

Можно переформулировать. Задача у меня такая. Известно, что следующий ряд сходится
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_a^b g_k(x)dx\right)^2$
B каком случае будет сходится ряд:
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_a^b f(x)g_k(x)dx\right)^2$

Вот скажем если $\displaystyle g_k(x) = sin(kx), a=0, b = \pi,$ то это будет верно для всякой f из $$L_2.$$

. (хотя это не есть следствие сходимости ряда $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_a^b g_k(x)dx\right)^2$ ), но все же...

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 13 дек 2010, 10:11

Fantazisto писал(а):Source of the post
Вот скажем если $\displaystyle g_k(x) = sin(kx), a=0, b = \Pi,$ то это будет верно для всякой f из . (хотя это не есть следствие сходимости ряда $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\int_a^b g_k(x)dx\right)^2$ ), но все же...

Чему равно b?

Fantazisto · Сообщение **Fantazisto** » 13 дек 2010, 10:22

Чему равно b?

$\displaystyle b= \pi$

yourdomain.com