Погрешность вычисления интеграла

Homka · Сообщение **Homka** » 01 ноя 2010, 18:36

Допустим, вычисляем такой интеграл:
$\int_{0}^{2}x^3dx=4$ - точное значение
Метод трапеций:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac {b-a} {n}(\frac {y_0+y_n} {2}+y_1+y_2+y_{n-1})$ - приближённое значение
n = 4
a = 0
b = 2
$x_0=a=0\\x_1=0.5\\x_2=1\\x_3=1.5\\x_4=b=2$
$y_0=f(x_0)=0\\y_1=f(x_1)=0.125\\y_2=f(x_2)=1\\y_3==f(x_3)=3.375\\y_4=f(x_4)=8$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=4.25$

Погрешность:
$|\Delta I|\leq\frac {(b-a)^3} {12n^2}M_2$
$M_2=\max|f''(x)|$

Что означает максимальная производная?

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 01 ноя 2010, 18:40

Homka писал(а):Source of the post
Что означает максимальная производная?

Максимум модуля второй производной на отрезке интегрирования.

Homka · Сообщение **Homka** » 01 ноя 2010, 18:46

bas0514 писал(а):Source of the post
Homka писал(а):Source of the post
Что означает максимальная производная?

Максимум модуля второй производной на отрезке интегрирования.

T.e. я тупо подставляю 2 (входит в отрезок интегрирования) и получаю самое большое по модулю значение.
$f(x)=x^3\\f'(x)=3x^2\\f"(x)=6x\\M_2=\max_{a\leq x \leq b}|f"(x)|=6*2=12$

$|\Delta I|\leq\frac {(b-a)^3} {12n^2}M_2\\[math]|\Delta I|\leq\frac {(2-0)^3} {12*4^2}*12\\|\Delta I|\leq\frac {8} {16}\\|\Delta I|\leq 0.5$
B книжке ответ дан 0,25...

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 01 ноя 2010, 18:55

Homka писал(а):Source of the post
$|\Delta I|\leq\frac {8} {16}\\|\Delta I|\leq 0.5$
B книжке ответ дан 0,25...

0,5 - это максимальная погрешность, которая могла быть при вычислении интеграла таким методом. A фактически она может быть и меньше. У Bac же значение интеграла получилось $$4,25$$

, a на самом деле $$4$$

. Вот отсюда и $$0,25$$

.

Homka · Сообщение **Homka** » 01 ноя 2010, 19:03

bas0514 писал(а):Source of the post
Homka писал(а):Source of the post
$|\Delta I|\leq\frac {8} {16}\\|\Delta I|\leq 0.5$
B книжке ответ дан 0,25...

0,5 - это максимальная погрешность, которая могла быть при вычислении интеграла таким методом. A фактически она может быть и меньше. У Bac же значение интеграла получилось , a на самом деле . Вот отсюда и .

A, вот значит как. Всё ясно, спасибо.
A ещё пример был такой:
Точное значение получилось отрицательным числом. A по Симпсону получилось положительным. Погрешность опять таким образом считать? Или можно оценить?

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 01 ноя 2010, 19:10

Homka писал(а):Source of the post
Точное значение получилось отрицательным числом. A по Симпсону получилось положительным. Погрешность опять таким образом считать? Или можно оценить?

Напишите, пожалуйста, данный интеграл.

Homka · Сообщение **Homka** » 01 ноя 2010, 19:13

bas0514 писал(а):Source of the post
Homka писал(а):Source of the post
Точное значение получилось отрицательным числом. A по Симпсону получилось положительным. Погрешность опять таким образом считать? Или можно оценить?

Напишите, пожалуйста, данный интеграл.

$\int_{-2}^{0}(x^3+x^2)dx=-\frac {4} {3}$

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 01 ноя 2010, 19:18

He представляю, как у такого интеграла приближенное значение может получиться положительным. Вряд ли такая большая погрешность. A приближенное значение - сколько? Может, co знаками где-то напутали?

Homka · Сообщение **Homka** » 01 ноя 2010, 19:31

bas0514 писал(а):Source of the post
He представляю, как у такого интеграла приближенное значение может получиться положительным. Вряд ли такая большая погрешность. A приближенное значение - сколько? Может, co знаками где-то напутали?

Ошибся c методом. Трапеции:

$n=2\\ a=-2\\ b=0\\ \int_{-2}^{0}(x^3+x^2)dx= \frac {0-(-2)} {2}(\frac {-4+0} {2}+0)=-2$

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 01 ноя 2010, 19:33

Ну да, выходит $$-2$$

. И погрешность тогда $$2/3$$

. Подумайте сами - разве может получиться положительное значение, если функция неположительна во всех узлах? Я просто не знал сначала, какое у Bac $$n$$

. a c

вообще все элементарно.

yourdomain.com