yourdomain.com

Требуется решить задачу методом Даламбера(бегущих волн).B учебнике объясняется только как решить краевую задачу первого рода.Условие задачи третьего рода:
$\\ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\\ u(x,0)=\varphi(x)\\ \frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=\psi(x)\\ \frac{\partial u(0,t)}{\partial x}=u(0,t)+ t^2$
По формуле Даламбера решение на бесконечной прямой
$\\u(x,t)=f(x-t)+g(x+t)\\ f(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\psi(s)ds-\frac{C}{2}\\ g(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\psi(s)ds +\frac{C}{2}$
Теперь я подставляю f и g в краевое условие
$\\ f'_{x-t}(x-t)+g'_{x+t}(x+t)=f(x-t)+g(x+t)+t^2\\ f'_{-t}(-t)+g'_{t}(t)=f(-t)+g(t)+t^2\\z=-t\\f'_{z}(z)+g'_{-z}(-z)=f(z)+g(-z)+z^2$
Как я понимаю надо выразить f через g,как и в задаче первого рода.Ho не знаю как это сделать.Прошу помощи.

Я не понимаю, что вы делаете. Каким образом вы записали общие выражения $$f(x)$$

и

через $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ ? Разве вы не должны были сделать это, подставляя их в начальное условие? Или вы это уже сделали, если да, то как? Далее, каким образом вы берёте производные - вообще не понимаю. Зачем ваша подстановка $$z=-t$$

?

Karabas писал(а):Source of the post
$g(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\psi(s)ds +\frac{C}{2}$

Здесь ошибка в знаке, a дальше верно

Karabas писал(а):Source of the post
$f'_{-t}(-t)+g'_{t}(t)=f(-t)+g(t)+t^2$

Я тоже не вижу перспективы в замене t на -z. Данное соотношение можно упростить c помощью равенств типа $f'-f=e^t(e^{-t}f)'$ , ну и что, получится еще одно уравнение на f и g, a они уже выписаны у Bac однозначно.
Три условия, как Вы их написали, избыточны, и ,по прикидкам, задача имеет решение только если функция $\varphi(t)+\int_0^t\psi(s)ds+\varphi(-t)+\int_0^{-t}\psi(s)ds$ удовлетворяет определенному равенству. Зато если считать или первое, или второе условие заданными только при $x\geq 0$ , решение единственно и представляет интерес.

Ian
Как я понимаю, $f'_{-t}=-f'_t$ .

Ian писал(а):Source of the post Зато если считать или первое, или второе условие заданными только при $x\geqslant 0$ ,

Я так и подумал, скорее всего, автор просто забыл упомянуть. Обычно граничные условия задают на границе области решения, иначе это называется по-другому.

fir-tree писал(а):Source of the post
Ian
Как я понимаю, $f'_{-t}=-f'_t$ .

Короче, штрих всюду означает производную функции f, как она есть, и уже потом подставление -t, в другом месте x-t и x+t в качестве аргументов. A если надо написать производную по t от f(-t), пишем $$(f(-t))'$$

или $\frac d{dt}f(-t)$
Надо же, geqslant придется на стенке написать, пока не выучу...И frac в textstyle заработала..

Вы правы,я забыл дописать что $$x>=0 $$

,то есть мы рассматриваем волновое уравнение на полуограниченной прямой.Ну и про ошибку в знаке тоже правы.
Насчет вычисления производных:
пусть надо вычислить $\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}$ когда $$u(x,t)=f(x-t)$$

Тогда:
$\\ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial f(x-t)}{\partial(x-t)}\frac{\partial(x-t)}{\partial x}=\frac{\partial f(x-t)}{\partial(x-t)} \\ \frac{\partial u(0,t)}{\partial x}=\frac{\partial f(-t)}{\partial(-t)}$
И все-таки прошу помощи c решением.

Ian писал(а):Source of the post Короче, штрих всюду означает производную функции f, как она есть

Ну, хотелось бы, но как тогда обозначать $\d/\d(-t)$ ? B теории ДУЧП приняты обозначения типа "штрих сверху, переменная снизу" и даже просто "переменная снизу".

Karabas писал(а):Source of the post Насчет вычисления производных:
пусть надо вычислить $\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}$ когда
Тогда:
$\\ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial f(x-t)}{\partial(x-t)}\frac{\partial(x-t)}{\partial x}=\frac{\partial f(x-t)}{\partial(x-t)} \\ \frac{\partial u(0,t)}{\partial x}=\frac{\partial f(-t)}{\partial(-t)}$

$\displaystyle \frac{\d u}{\d x}=\frac{df}{d(x-t)}\frac{\d(x-t)}{\d x}=f'\cdot 1$
и только после вычисления до конца подобных выражений можно подставлять $$x=0$$

.

Подскажите пожалуйста как дальше решать задачу.

Для $\xi\geqslant 0$ у вас выражения для $f(\xi)$ и $g(\xi)$ уже выписаны, a для $\xi<0$ они находятся из уравнения, в которое превращается краевое условие.

Собственно, вру, $g(\xi),\quad\xi<0$ ни из чего не находится, но и ни на что не влияет. Найти осталось только $f(\xi),\quad\xi<0$ .

yourdomain.com

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение