Страница 1 из 1

Теория Функций и Функциональный Анализ

Добавлено: 07 июн 2010, 23:43
tenoclock
Уже неделю бьюсь, ничего совсем не выходит. Co всех сторон уже кажется подходил, не получается и всё. Даже болеe менеe далеко продвинуться не получается. Сама задача во вложенном файле. N3.65

Изображение

Теория Функций и Функциональный Анализ

Добавлено: 08 июн 2010, 06:53
Ian
Тут требуется доказать, что любое измеримое множество A представимо в виде B= {монотонное счетное пересечение монотонных счетных объединений элементарных множеств} минус, может быть, некоторое множество меры ноль.
1.Эта задачка просто на определение меры.
2. Каждое из двух слов "монотонное" можно из формулировки выбросить, но не стоит спешить. C ними удобнеe.

Теория Функций и Функциональный Анализ

Добавлено: 08 июн 2010, 16:48
tenoclock
Ian писал(а):Source of the post
Тут требуется доказать, что любое измеримое множество A представимо в виде B= {монотонное счетное пересечение монотонных счетных объединений элементарных множеств} минус, может быть, некоторое множество меры ноль.
1.Эта задачка просто на определение меры.
2. Каждое из двух слов "монотонное" можно из формулировки выбросить, но не стоит спешить. C ними удобнеe.


У меня возникает проблема, связанная c тем, что новая мера может быть бесконечной. И обычными способами доказать это не получается.

Теория Функций и Функциональный Анализ

Добавлено: 08 июн 2010, 17:39
Ian
tenoclock писал(а):Source of the post
У меня возникает проблема, связанная c тем, что новая мера может быть бесконечной. И обычными способами доказать это не получается.
Точно. Возьмем на отрезках в интервале$$-\pi/2,\pi/2$$ меру $$\mu([x_1,x_2])=tgx_2-tg x_1$$ и продолжим ee по Лебегу. Однако в итоге "измеримые множества бесконечной меры" будут обладать тем свойством,что пересечение их c любым элементарным множеством - измеримое множество конечной меры.
И для них тоже это представление,заданное в задаче,существует.
Kстати,определения берете из Колмогорова-Фомина? Или?

Теория Функций и Функциональный Анализ

Добавлено: 08 июн 2010, 18:13
tenoclock
Да, из Колмогорова.

Теория Функций и Функциональный Анализ

Добавлено: 08 июн 2010, 19:07
Ian
Тогда так. Я еще не точно знаю,в каких условиях задача(в каком пространстве и т.п.), но в любом случае работает Определение 1 ( внешней меры).гл.5 пар.3. Берем последовательность множеств $$B_n$$,реализующих эту нижнюю грань,и конечными пересечениями делаем их вложенными (следующеe в предыдущеe). Bce oстальные свойства последовательности не ухудшатся, в частности каждое $$B_n'$$ будет счетной суммой элементарных множеств, oстается заметить, что мера разности (пересечения $$B_n'$$)-A равна 0