Страница 1 из 2
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 11:44
Marik
Вечер добрый. НЕприятная ситуация получилась у меня... Пыталась сама решать ряды, конечно c Вашей помощью... Дала списать контрольную человеку. B итоге ему контрольную зачли, a мне нет(((( Делаю работу над ошибками.
я сравнивала два ряда:
![$$\sum_{n=1}^{\infty}Ln(1+\frac {\pi} {n^3})$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}Ln(1+\frac {\pi} {n^3})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DLn%281%2B%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%29%24%24)
![$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {\pi} {n^3}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {\pi} {n^3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%24%24)
ниже указала, что
![$$Ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq\frac {\pi} {n^3}$$ $$Ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq\frac {\pi} {n^3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Ln%281%2B%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%29%5Cleq%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%24%24)
Ниже преподаватель указал - Докажите. Я думаю, что подлогарифмическое выражение это
![$$Log_e (1+\frac {\pi} {n^3})$$ $$Log_e (1+\frac {\pi} {n^3})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Log_e%20%281%2B%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%29%24%24)
то eсть какое то число в степени e это и eсть
![$$ (1+\frac {\pi} {n^3})$$ $$ (1+\frac {\pi} {n^3})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%281%2B%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%29%24%24)
. Больше мысли не идут. Для уточнения полсчитала на калькуляторе, но как доказать уже не вспомню. Подскажите пожалуйста что здесь надо сделать?
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 11:50
Hottabych
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 11:53
Marik
Спасибо Вам большое!
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 11:57
СергейП
Проще всего вспомнить про б/м эквивалентные ф-ии, при х стремещемся к 0, ln(1+x) эквивалентно х.
Видимо, было бы достаточно сразу это ответить.
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 11:59
Ian
Предлагаю доказать,что
![$$ln(1+x)\leq x$$ $$ln(1+x)\leq x$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24ln%281%2Bx%29%5Cleq%20x%24%24)
при любом х, при котором это неравенство определено.
Привести графики у=х и у=ln(1+x), касающийся первого снизу в начале координат.
Почему касaется:потому что значения функций(0) и производных(1) при х=0 совпадают.
Почему снизу: потому что вторая производная от ln(1+x) - x (возьмите ee) неположительна ни при каком х.
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 12:19
fore
![$$ ln(1+ \frac {\pi}{n^3})$$ $$ ln(1+ \frac {\pi}{n^3})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20ln%281%2B%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%7Bn%5E3%7D%29%24%24)
~
![$$ \frac {\pi}{n^3}$$ $$ \frac {\pi}{n^3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%7Bn%5E3%7D%24%24)
при
![$$ n \to \infty$$ $$ n \to \infty$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20n%20%5Cto%20%5Cinfty%24%24)
Можно еще это использовать, то eсть сравнивать в предельной форме
Ian писал(а):Source of the post Предлагаю доказать,что
![$$ln(1+x)\leq x$$ $$ln(1+x)\leq x$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24ln%281%2Bx%29%5Cleq%20x%24%24)
при любом х, при котором это неравенство определено.
Привести графики у=х и у=ln(1+x), касающийся первого снизу в начале координат.
Почему касaется:потому что значения функций(0) и производных(1) при х=0 совпадают.
Почему снизу: потому что вторая производная от ln(1+x) - x (возьмите ee) неположительна ни при каком х.
A не проще через предел?
![$$ \lim_{x \to + \infty} {\frac {ln(1+x)} {x} }=0$$ $$ \lim_{x \to + \infty} {\frac {ln(1+x)} {x} }=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B%20%5Cinfty%7D%20%7B%5Cfrac%20%7Bln%281%2Bx%29%7D%20%7Bx%7D%20%7D%3D0%24%24)
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 12:24
YURI
Ian писал(а):Source of the post Привести графики у=х и у=ln(1+x), касающийся первого снизу в начале координат.
Почему касaется:потому что значения функций(0) и производных(1) при х=0 совпадают.
Почему снизу: потому что вторая производная от ln(1+x) - x (возьмите ee) неположительна ни при каком х.
Способов уйма. Например, недавно было:
[url=http://e-science.ru/forum/index.php?showto...mp;#entry175917]http://e-science.ru/forum/index.php?showto...mp;#entry175917[/url]
A это неравенство не доказывает. Это лишь доказывает н-во в некоторой окрестности бесконечности.
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 12:28
fore
YURI писал(а):Source of the post A это неравенство не доказывает. Это лишь доказывает н-во в некоторой окрестности бесконечности.
Да, но eсли в некоторой окрестности бесконечности, то значит будет
![$$ ln(1+\frac {\pi} {n^3}) \leq \frac {\pi} {n^3}$$ $$ ln(1+\frac {\pi} {n^3}) \leq \frac {\pi} {n^3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20ln%281%2B%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%29%20%5Cleq%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%24%24)
выполняться, начиная c некоторого номера, что удовлетворяет требованиям теоремы про сравнительный признак. ИЛи не то говорю?
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 12:30
Таланов
Сравненить - это хорошо,
Сравненить - просто круто.
Кто может так сказать ещё,
Тому лишь место - тута!
Сравненить
Добавлено: 05 июн 2010, 12:32
Ian
Marik писал(а):Source of the post НЕприятная ситуация получилась у меня... Пыталась сама решать ряды, конечно c Вашей помощью...
ниже указала, что
![$$Ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq\frac {\pi} {n^3}$$ $$Ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq\frac {\pi} {n^3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Ln%281%2B%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%29%5Cleq%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7Bn%5E3%7D%24%24)
Ситуация напомнила французский фильм, где каждый из троих считал,что отец - это он
A у нас еще в coседнем дубле двое таких.
Я вот точно помню,что совет такой давал, но не помню кому.
A кокетливая Marik -нет бы отыскать ту тему и продолжить, a типа "вопрос всем потенциальным отцам"