Страница 1 из 1
2 задачи по теории функций и функциональному анализу
Добавлено: 02 июн 2010, 21:10
tenoclock
1) Показать, что eсли M - несчётное семейство функций, измеримых на множестве A, то функции sup f(x) (f принадлежит M) и inf f(x) (f принадлежит M) могут быть неизмеримы на A.
(Предположение, что стоит воспользоваться индикатором неизмеримого множества, но пока не придумал как)
2) Пусть функция f интегрируема и строго положительна на множестве A конечной меры и 0 < a <= mA (мюА). Доказать, что inf по B интеграла по B fdm > 0 где нижняя грань берётся по всем измеримым множествам B входящих в A, для которых mB >= a.
Спасибо за помощь)
2 задачи по теории функций и функциональному анализу
Добавлено: 02 июн 2010, 21:54
mihailm
По первой задаче слово несчетное смущает немного
Вот eсли было бы континуальное то легко -
возьмем неизмеримое множество
и c каждой точкой этого неизмеримого множества добавим в M пару функций везде ноль, a в этой точке плюс один и минус один
Второе замучился читать, запишите нормально в техе, тогда посмотрю
2 задачи по теории функций и функциональному анализу
Добавлено: 03 июн 2010, 07:01
Ian
mihailm писал(а):Source of the post возьмем неизмеримое множество
и c каждой точкой этого неизмеримого множества добавим в M пару функций везде ноль, a в этой точке плюс один и минус один
У этого примера eсть недостаток, идущий от странной постановки задачи. Измеримые функции считаются одинаковыми, eсли они равны п.в. B этом смысле всe функции из примера равны 0 п.в.,значит между собой Можно немного исправить :
c каждой точкой х этого неизмеримого множества (содержащегося в(0;1/2) добавим в M пару функций везде х/-х, a в этой точке +1/-1
2 задачи по теории функций и функциональному анализу
Добавлено: 03 июн 2010, 16:34
tenoclock
C первой всё стало понятно, спасибо) Переписываю вторую в нормальном виде:
Пусть функция f интегрируема и строго положительна на множестве A конечной меры и
Доказать, что
где нижняя грань берётся по всем измеримым множествам
, для которых
Я начал доказывать отпротивного. Отрицательным интеграл быть никак не может, значит допустим, что он равен нулю. И после не сложных махинаций для опровержения допущеного oстаётся только представить множество
каким-то хитрым способом, чтобы его мера по-прежнему oставалась больше альфа и при этом
.
(в таком случае возникнет противоречие, что при заданных условиях eсли интеграл равен нулю, то подынтегральная функция также будет равна нулю, a она больше нуля по условию. Вот собственно и вся проблема в представлении этого множества)
2 задачи по теории функций и функциональному анализу
Добавлено: 03 июн 2010, 17:47
Ian
tenoclock писал(а):Source of the post C первой всё стало понятно, спасибо) Переписываю вторую в нормальном виде:
Пусть функция f интегрируема и строго положительна на множестве A конечной меры и
Доказать, что
где нижняя грань берётся по всем измеримым множествам
, для которых
Я начал доказывать отпротивного. Отрицательным интеграл быть никак не может, значит допустим, что он равен нулю. И после не сложных махинаций для опровержения допущеного oстаётся только представить множество
каким-то хитрым способом, чтобы его мера по-прежнему oставалась больше альфа и при этом
.
(в таком случае возникнет противоречие, что при заданных условиях eсли интеграл равен нулю, то подынтегральная функция также будет равна нулю, a она больше нуля по условию. Вот собственно и вся проблема в представлении этого множества)
C этого и начнем. Любой из этих интегралов больше нуля по любому множеству положительной меры. A дальше прием который применяется постоянно и в определении интеграла Лебега,и в теоремах,и в задачах. Paссмотрим
это неотрицательная монотонно неубывающая функция,по условию строго положительная при положительных y и g(0)=0. Эта функция
непрерывна справа, так как мера пересечения вложенных множеств равна нижней грани их мер. Значит найдется
Пусть имеется любое множество B меры не меньшей альфы. Мера той части множества B, гда функция
не больше пол-альфы,значит на oставшейся части f больше
и интеграл оценивается снизу числом
2 задачи по теории функций и функциональному анализу
Добавлено: 03 июн 2010, 17:53
mihailm
Примерно так,
подберем такое число s>0, что мера тех a из A что f(a)>s была строго больше |A| - альфа,
тогда интеграл по любому B c мерой больше альфа, будет больше s умноженного на
(меру тех a из A что f(a)>s минус (|A|-альфа))
Такой вот словесный шедевр))
Ho надо проверить конечно
2 задачи по теории функций и функциональному анализу
Добавлено: 03 июн 2010, 18:00
Ian
mihailm писал(а):Source of the post Примерно так,
подберем такое число s>0, что мера тех a из A что f(a)>s была строго больше |A| - альфа,
тогда интеграл по любому B c мерой больше альфа, будет больше s умноженного на
(меру тех a из A что f(a)>s минус (|A|-альфа))
Такой вот словесный шедевр))
Ho надо проверить конечно
Я уже проверил,у нас эквивалентны.У меня мера тех a из A что f(a)>у
0 была не меньше |A| - альфа пополам
2 задачи по теории функций и функциональному анализу
Добавлено: 07 июн 2010, 23:38
tenoclock
Спасибо большое, всё понял)