yourdomain.com

Помогите, пожалуйста. Нужно скоро сдать задачу, a у меня никак не получается. Нужно показать, что множество линейных обратимых операторов всюду плотно в пространстве линейных непрерывных операторов в конечномерном пространстве, a в случае бесконечномерного банахова не является всюду плотным.
Заранее благодарю всех откликнувшихся.
Всюду плотное множество -значит для любого элемента A всего пространства существует последовательность элементов из множества, стремящаяся к A по норме. Возьмем произвольный оператор A
1)Он обратим,тогда не надо мучаться и взять послед-ть A,A,A,...
2)Он необратим (то есть 0-точка его спектра,=собственное число).Возьмем как в посте,они обратимы,так как ни одно из лямбд не является собственным числом. Норма разности .
Вот и доказали что обратимые операторы всюду плотны.

tudastuk писал(а):Source of the post
Помогите, пожалуйста. Нужно скоро сдать задачу, a у меня никак не получается. Нужно показать, что множество линейных обратимых операторов всюду плотно в пространстве линейных непрерывных операторов в конечномерном пространстве, a в случае бесконечномерного банахова не является всюду плотным.
Заранее благодарю всех откликнувшихся.

Первую половину например,так.Для необратимого линейного оператора A на конечномерном пространстве (непрерывны там все) рассмотреть ,,и ни при одном n не попадает в спектр A, который как известно содержит не более N точек (N-размерность)

Ian писал(а):Source of the post
Первую половину например,так.

Насчет второй половины. Рассматриваю и оператор взятия первообразной очевидно необратимый, но 1)непонятно,приближается ли он обратимыми. 2)Может,есть более классический пример?

Ian писал(а):Source of the post
Насчет второй половины. Рассматриваю и оператор взятия первообразной очевидно необратимый, но 1)непонятно,приближается ли он обратимыми. 2)Может,есть более классический пример?

По определению оператор называется обратимым, если для любого уравнение имеет ровно одно решение. Так как тождественно равен нулю только при , то получается, что является обратимым.

Dm13 писал(а):Source of the post

Ian писал(а):Source of the post
Насчет второй половины. Рассматриваю и оператор взятия первообразной очевидно необратимый, но 1)непонятно,приближается ли он обратимыми. 2)Может,есть более классический пример?

По определению оператор называется обратимым, если для любого уравнение имеет ровно одно решение. Так как тождественно равен нулю только при , то получается, что является обратимым.

Пусть так.Мой пример фтопку. Ho у меня сомнение. B данной задаче обязан ли обратный оператор быть непрерывным.Это само собой не следует из его существования на ImA, но раз c самого начала нас ограничили в пространстве непрерывных операторов, так и ненепрерывный обратный -это как его и нет совсем. Вопрос o трактовке условия.