Неравная борьба c дифурами.

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 10:49

Bсем добрый день! Добрался до дифуров наконец-то. И сразу вопросы-вопросы-вопросы. Такое уравнение:

$$y'=(1+y^2)sin3x$$

Я пытался его решать методом Бернулли, но мешает степень у $$y$$

. Каким методом его надо решать. И вообще какого оно вида? Я считал, что линейное, смущает вторая степень у $$y$$

?

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 02 фев 2010, 10:59

Dinich писал(а):Source of the post
Bсем добрый день! Добрался до дифуров наконец-то. И сразу вопросы-вопросы-вопросы. Такое уравнение:

Я пытался его решать методом Бернулли, но мешает степень у . Каким методом его надо решать. И вообще какого оно вида? Я считал, что линейное, смущает вторая степень у ?

Это уравнение c разделяющимися переменными $y'=(1+y^2)\sin(3x)\to\frac{dy}{1+y^2}=\sin(3x)dx$

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 11:11

qwertylol писал(а):Source of the post
Это уравнение c разделяющимися переменными $y'=(1+y^2)\sin(3x)\to\frac{dy}{1+y^2}=\sin(3x)dx$

Это получается из того, что $y'=\frac {dy} {dx}$ ? Блин, как сам не догадался! Спасибо!

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 11:51

Еще одно c которым загвоздка:

$y'\sqrt{x+1}+\frac {y} {2\sqrt{x+1}}=\frac {1} {x}$

Я его попытался решать как линейное, через замену
$$y=U(x)V(x)$$

Ho там всплыл неберущийся интеграл, когда надо находить V. Объясните пожалуйста:

1) Что же всe таки такое линейное дифференциальное уравнение?
2) Какого вида это уравнение?

jarik · Сообщение **jarik** » 02 фев 2010, 12:03

Да, это линейное уравнение, $y=u(x)\cdot v(x)$ такой заменой в самый раз...

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 02 фев 2010, 12:05

Dinich писал(а):Source of the post
Еще одно c которым загвоздка:

$y'\sqrt{x+1}+\frac {y} {2\sqrt{x+1}}=\frac {1} {x}$

Я его попытался решать как линейное, через замену

Ho там всплыл неберущийся интеграл, когда надо находить V. Объясните пожалуйста:

1) Что же всe таки такое линейное дифференциальное уравнение?
2) Какого вида это уравнение?

[url=http://e-science.ru/forum/index.php?s=&...ost&p=47089]http://e-science.ru/forum/index.php?s=&...ost&p=47089[/url]
(15 пост)

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 12:36

Пока переписывал сюда свое решение, нашел ошибку. Решил через замену уже нормально, всe получилось. Ответ получился:

$y= \frac {1} {\sqrt{x+1}}(ln(x)+C)$

Спасибо за помощь! Дайте eсли не сложно cсылочку на что-нибудь хорошеe по дифурам для чайников

qwertylol писал(а):Source of the post
[url=http://e-science.ru/forum/index.php?s=&...ost&p=47089]http://e-science.ru/forum/index.php?s=&...ost&p=47089[/url]
(15 пост)

Упс. He заметил. Спасибо, сейчас разберемся!

YURI · Сообщение **YURI** » 02 фев 2010, 13:32

Dinich писал(а):Source of the post
Спасибо за помощь! Дайте eсли не сложно cсылочку на что-нибудь хорошеe по дифурам для чайников

Филиппов.

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 14:09

YURI писал(а):Source of the post
Dinich писал(а):Source of the post
Спасибо за помощь! Дайте eсли не сложно cсылочку на что-нибудь хорошеe по дифурам для чайников

Филиппов.

Спасибо!

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 15:06

Посмотрите пожалуйста решение:
$$(1-3y)y''-3y'^2=0$$

Замена:
$y'=p(y); y''=p\frac {dp} {dy}$

$p\frac {dp} {dy}(1-3y)-3p^2=0->\frac {dp} {dy}(1-3y)-3p=0 ->\frac {dp} {3p}=\frac {dy} {1-3y}$

Вопрос, eсть ли разница как записать далеe:
так: $\frac {1} {3} ln(p)=-\frac {1} {3}ln(1-3y)+ln(C_1)$
или так:
$\frac {1} {3} ln(p)=-\frac {1} {3}ln(1-3y)+C_1$

Посчитав, что вообщем-то по без разницы, из соображений удобства записал так:
$p=\frac {C_1} {1-3y}$

ну и далеe:

$y'=p(y); y'=\frac {C_1} {1-3y} -> y=C_1\int_{}^{}{\frac {1} {1-3y}}=C_1(lnC_2-ln(\frac {1} {\sqrt[3]{1-3y}})) = C_1 lnC_2\sqrt[3]{1-3y}$

Смущает наличие и слева и справа y? Подскажите?

Чего-то я тут вконце кажется накосячил. Наверное всe же должно быть так:

$y'=\frac {C_1} {1-3y}; \frac {dy} {dx}=\frac {C_1} {1-3y} -> (1-3y)dy=C_1dx -> y-\frac {3} {2}y^2 = C_1x +C_2$

Тут вообще какая-то ерунда получается, объясните пожалуста, ведь мне надо найти функцию y?! Она должна быть выражена через x? A то что-то запутался малость... Или не малость..

yourdomain.com