yourdomain.com

№1

$|f(x)|=\int_{0}^{0.5}{\sqrt{t}x(t^2)dt}$

Ограниченость и норма функционала?

Что я сделал:

$|f(x)|=|\int_{0}^{0.5}{\sqrt{t}x(t^2)dt}|\leq\int_{0}^{0.5}{|\sqrt{t}x(t^2)|dt}\leq\int_{0}^{0.5}{\sqrt{t}|x(t^2)|dt}\leq0.5\int_{0}^{0.5}{|x(t^2)|dt^2}\leq0.5\int_{0}^{0.25}{|x(u)|du}\leq$

$\leq0.5\int_{0}^{0.25}{|x(u)|du}\leq0.5\int_{0}^{1}{|x(u)|du}\leq0.5\sqrt{\int_{0}^{1}{|x(u)|^2du}}\leq0.5 ||x||$

Следовательно, функционал ограниченый.

C нормой посложнее.

№2
Найти норму оператора

$$X=L_2 (0,1)$$

$Ax(t)=\int_{0}^{t}{x(u)du}$

Подставлял х(т)=1, получал норму так же равной 1, но из оценок видно, что она должна быть меньше.

P.S. норма в L2:

$||x||=(\int_{0}^{1}{|x(t)|^2dt})^{0.5}$

Можно хоть идею

Bo второй задаче простого решения не получится. Можно, например, переписать задачу в виде интегрального уравнения, a потом найти точечный спектр получившегося оператора (a точнее, наибольшее его сингулярое число). Ответом будет $\frac{2}{\pi}$

A в первой?

yourdomain.com

Функан

Функан

Функан

Функан

Функан