Интегралы

olga2009 · Сообщение **olga2009** » 10 июн 2009, 22:03

Даны интегралы

${(\int_{-1}^{1}{{|2x^2-1|^p}dx})^{\frac {1} {p}}$

${(\int_{-1}^{1}{{|2xsin^2\frac {t} {2}-\frac {\sqrt{1-x^2}} {\sqrt{\pi}}sint|^p}dx})^{\frac {1} {p}}$

Здесь p от 1 до
$\infty$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 11 июн 2009, 16:21

$\int_{-1}^1|2x^2-1|^pdx=2\int_0^1|2x^2-1|^pdx=2\int_0^{\frac1{\sqrt2}}(2x^2-1)^pdx+2\int_{\frac1{\sqrt2}}^1(1-2x^2)^pdx$
дальше должно быть просто.
Bo втором попробуйте так же от модуля избавится.

Георгий

Первый интеграл выражается через гамма-функции, второй не берется.

Георгий

Для конкретных значений p результаты простые (если p -целые) . Ha Рис - первые 10 значений первого задания. Если на базе этого суметь вывести общую формулу, задача будет решена (вычислял по формулам Инспектора. Если ошибся - то это на его совести)

Draeden · Сообщение **Draeden** » 11 июн 2009, 17:43

Исходное задание наверно не требует их находить ? Это больше похоже на норму в лебеговом метрическом пространстве. Может быть их надо оценить ?
B первом задании можно воспользоваться советом Inspektor'a и получить явную формулу. Второй интеграл вообще жуткий... Откуда там t ?

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 11 июн 2009, 19:38

Георгий писал(а):Source of the post
(вычислял по формулам Инспектора. Если ошибся - то это на его совести)

A своей головой не пробовали думать? Сами интегралы мы недавно обсуждали и Mipter показал как их брать.
Второй действительно не так просто взять, можно разбить его на 2 интеграла вида $\int{$\sqrt{1-x}-c x$^p}dx$ , в этом похоже надо делать замену $x=\sin(t)$ , a в получившемся универсальную тригонометрическую подстановку.

olga2009 · Сообщение **olga2009** » 11 июн 2009, 21:02

Draeden писал(а):Source of the post
Исходное задание наверно не требует их находить ? Это больше похоже на норму в лебеговом метрическом пространстве. Может быть их надо оценить ?
B первом задании можно воспользоваться советом Inspektor'a и получить явную формулу. Второй интеграл вообще жуткий... Откуда там t ?

Исходное задание: найти точную верхнюю грань множества.

$\sup_{|t_i|<=\theta}{sint||2x^2-1||}$
норма в пространстве

$L_p(\nu,\mu)$
отсюда и получается интеграл
Если решать через гамма-функции то достатосно сложно найти точную верхнюю грань.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 13 июн 2009, 11:17

Непонятные обозначения.
Если делать как написано, то получится вот так:

$\sup_{|t| \le \theta} \sin t \cdot || 2x^2-1 || = || 2x^2-1 || \cdot \sup_{|t| \le \theta} \sin t$

Откуда взялись те жуткие интегралы ?

olga2009 · Сообщение **olga2009** » 13 июн 2009, 14:17

Draeden писал(а):Source of the post
Непонятные обозначения.
Если делать как написано, то получится вот так:

$\sup_{|t| \le \theta} \sin t \cdot || 2x^2-1 || = || 2x^2-1 || \cdot \sup_{|t| \le \theta} \sin t$

Откуда взялись те жуткие интегралы ?

как же вы вынесли норму?

$\sup_{|t|<=\delta}{sint||2x^2-1||_{L_{p,\mu}}}$
если правильно то получается так:

$\sup_{|t|<=\delta}{sint||2x^2-1||_{L_{p,\mu}}}=\sup_{|t|<=\delta}{sint(\int_{-1}^{1}{|2x^2-1|^pdx)^{\frac {1} {p}}}}$
вот откуда этот интеграл возникает. Его оценить достаточно сложно и найти тоже.

i.komarov · Сообщение **i.komarov** » 19 янв 2016, 15:11

Дошел до представления первой функции в виде ряда, пока что думаю к какой функции это может сходиться, вроде как что-то знакомое.
Не уверен что правильно ибо по индукции не проверял, но похоже на то (до третьего посчитал, там вроде как закономерность такая)

ps Прошу прощения, что в таком формате, LATEX учить времени нет, делов полным-полно.

yourdomain.com