Среднее значение функции

pretty · Сообщение **pretty** » 26 май 2009, 15:46

Вычислить среднее значение функции
$$ f(x)=10+2 sin^2 x+3cos^2x $$

на отрезке $[o, 2\pi ]$

He знаю как это сделать,но кажется,что начать надобно c формулы f ср
$f=\frac {\int_{a}^{b}{f(x)dx}} {b-a}$

или как??

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 26 май 2009, 15:48

Именно так. Только это легко сделать в уме (12.5).

pretty · Сообщение **pretty** » 26 май 2009, 15:53

значит у меня должно получиться $f=\frac {\int_{0}^{2 \pi}{(10+2 sin^2x+3cos^2x)dx}} {2 \pi}$
и теперь просто это посчитать??извиняюсь за ,может быть, глупые вопросы....

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 26 май 2009, 15:57

pretty писал(а):Source of the post
значит у меня должно получиться $f=\frac {\int_{0}^{2 \pi}{(10+2 sin^2x+3cos^x)dx}} {2 \pi}$
и теперь просто это посчитать??извиняюсь за ,может быть, глупые вопросы....

Можете, конечно, посчитать, интегралы табличные, но задача, как говорилось, легко решается в уме - надо только вспомнить: Сумма квадратов синуса и косинуса=?. Среднее значение квадрата косинуса =?

pretty · Сообщение **pretty** » 26 май 2009, 17:16

ну вот в уме у меня не получается ,честно гвооря, посчитать...
я запуталась ....Сумма квадратов синуса и косинуса =1 ...
Среднее значение квадрата косинуса -a это я вообще не поняла что такое....

стала решать последовательно интеграл $\int_{0}^{2\pi}{(10+2sin^2x+3cos^2x)dx}$
получилось : $(10x+\frac {2x-sin2x} {2} + \frac {3} {4} 2x+sin2x) \frac {1} {2\pi}$ в пределе интегрирования от 0 до $2\pi$
и вот дальше какая-то ересь получается ,не выходит подставить эти значения и все...
$\frac {1} {2\pi$ это из формулы

crexy · Сообщение **crexy** » 26 май 2009, 17:44

значит сейчас напишу

$(20 \pi + \frac {1} {2}(4\pi - sin 4\pi)+\frac {3} {4}(4\pi+sin 4\pi ))\frac {1} {2\pi}= (20\pi+2\pi +3\pi)\frac {1} {2\pi}=\frac {25\pi} {2\pi}=12,5$

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 26 май 2009, 17:54

Можно решить еще проще, чем я предложил выше - достаточно вспомнить, чему равно среднее от квадрата синуса и косинуса (0.5, если забыли). Отсюда сразу вытекает значение среднего всего выражения - 12.5.

yourdomain.com