yourdomain.com

Вчера мне понадобилось взять определенный интеграл

$\int _{0}^{ 2.0}\!{x}^{x}{dx}$

B Мапле сделать это удалось, только поставив точки после чисел, обозначающих пределы интегрирования (как однажды предлагал Хоттабыч). Ho вот неопределенный интеграл взять так и не смог. Берется он, или нет? A функция ведь гладкая, красивая!

Георгий писал(а):Source of the post
Вчера мне понадобилось взять определенный интеграл

$\int _{0}^{ 2.0}\!{x}^{x}{dx}$

B Мапле сделать это удалось, только поставив точки после чисел, обозначающих пределы интегрирования (как однажды предлагал Хоттабыч). Ho вот неопределенный интеграл взять так и не смог. Берется он, или нет? A функция ведь гладкая, красивая!

B элементарных точно не берётся, a численно- легко.

И даже через спецфункции невозможно? Или, допустим, через ряды?

Удивительная кривая! Минимум находится при $\frac{1}{e}$

Любой неопредлённый интеграл можно записать через спецфункции, смотря какие спецфункции использовать.

Георгий писал(а):Source of the post
И даже через спецфункции невозможно? Или, допустим, через ряды?

Удивительная кривая! Минимум находится при $\frac{1}{e}$

Ну в ряд Маклорена разложите и его почленно интегрируйте.

Мне проще было разложить в ряд Тейлора и проинтегрировать: окончательно получил:

$x-1+{\frac {1}{2}} \left( x-1 \right) ^{2}+{\frac {1}{3}} \left( x-1 \right) ^{3}+{\frac {1}{8}} \left( x-1 \right) ^{4}+{\frac {1}{15}} \left( x-1 \right) ^{5}+{\frac {1}{72}} \left( x-1 \right) ^{6}+{\frac {3}{280}} \left( x-1 \right) ^{7}-{\frac {1}{960}} \left( x-1 \right) ^{8}+$
$+{\frac {59}{22680}} \left( x-1 \right) ^{9}-{\frac {71}{50400}} \left( x-1 \right) ^{10}+O \left( \left( x-1 \right) ^{11} \right)$

Это тоже приближённо.

A самый короткий и точный метод есть?

Ну сейчас я получил приближение 2.826631394 (a точное было 2.8338767). B принципе, неплохо. Если ряд увеличить раза в два, совсем будет прилично.

Зачем вам это вообще надо ? Есть например такой интеграл:

$\int_1^x \frac{dx}{\ln x}$

Раз уж он не выражается через уже известные функции то решили придумать для него обозначение: $\text{li} x$ . Это дало что то новое ? Ничего. Здесь тот же случай: можно извратиться и выразить его через какие нибудь функции Мейера, a можно и сделать специальное обозначение. B любом случае ответ будет бесполезен.

Георгий писал(а):Source of the post
Мне проще было разложить в ряд Тейлора и проинтегрировать: окончательно получил:

$x-1+{\frac {1}{2}} \left( x-1 \right) ^{2}+{\frac {1}{3}} \left( x-1 \right) ^{3}+{\frac {1}{8}} \left( x-1 \right) ^{4}+{\frac {1}{15}} \left( x-1 \right) ^{5}+{\frac {1}{72}} \left( x-1 \right) ^{6}+{\frac {3}{280}} \left( x-1 \right) ^{7}-{\frac {1}{960}} \left( x-1 \right) ^{8}+$
$+{\frac {59}{22680}} \left( x-1 \right) ^{9}-{\frac {71}{50400}} \left( x-1 \right) ^{10}+O \left( \left( x-1 \right) ^{11} \right)$

Bo-первых ряд Маклорена- это и есть ряд Тейлора при a=0. Bo-вторых посмотрите, что означает таинственный символ O, и в-третьих проверьте выкладки, не может быть, что интеграл $$x\cdot ln(x)$^k$ взялся в элементарных функциях.

yourdomain.com

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел

Определенный интеграл нашел