Определенный интеграл нашел

jarik · Сообщение **jarik** » 13 фев 2009, 10:23

Вот, если бы так начисляли зарплату, интеграл $\int_0^{a}{x^{x}dx}$ сразу бы вычислили.
И определённый и неопределённый.

Георгий

Да и если бы в Японии делали авто, как в Тольятти, - цены бы ей не было!

A вообще, если серьезно, я стою на пороге нового принципа нахождения совершенно неберущихся интегралов. Компьютерная техника (как я надеюсь) позволит находить аналитические выражения, связывающие интеграл и подынтегральную зависимость. Главное здесь - научиться конструировать такие выражения. Например, я в первом приближении принял двойную экспоненциальную зависимость и 4 параметра. A можно задать и 10 экспонент c 20-ю логарифмами и 30-ю арктангенсами. Машине же - все равно! Аппроксимацию можно будет производить методом случайных изменений параметров и выбора пути, по которому идет постоянное уменьшение среднеквадратичного отклонения. (такой метод аппроксимации я разработал и успешно применял при поиске функций распределения плотности вероятностей данных экспериментов). Опорные точки интеграла легко определять численно - их может быть сколько угодно и c любой точностью.

jarik · Сообщение **jarik** » 13 фев 2009, 10:37

Георгий писал(а):Source of the post
Да и если бы в Японии делали авто, как в Тольятти, - цены бы ей не было!

Ну дык, япошки стремятся к нашим авто, по чуть - чуть, но подходят к нашему уровню.
Пардон за оффтоп.

bot · Сообщение **bot** » 13 фев 2009, 10:42

Георгий писал(а):Source of the post
Ну и при x=0 y=0

Это ещё почему? Вообще то функция $$y(x)=x^x$$

- не определена в точке $$x=0$$

, если попытаться её доопределить по непрерывности, то надо полагать $$y(0)=1$$

,

поскольку $\lim\limits_{x\to 0} x^x=1$ (ибо $\lim\limits_{x\to 0} x\ln x=0$ ).

Я не знаю, к какому из известных неберущихся в классе элементарных функций сводится $\int x^x d x$ , но не сомневаюсь, что это так.

Так что придётся удовлетвориться первообразной в виде $F(x)=\int\limits_0^x t^tdt$ , которую можно считать любым пакетом.

Георгий

Я что-то напутал. B графике же явно у меня y(0)=1. Речь идет об интеграле в точке 0. Интеграл и равен нулю.

bot · Сообщение **bot** » 13 фев 2009, 11:28

A что такое интеграл в точке 0?

Георгий

Если интеграл неопределенный, то это - функция, имеющая значение в нулевой точке. Это значение, в частности, может быть нулем. B моей задаче производная этой функции в нулевой точке должна быть равна единице.

bot · Сообщение **bot** » 13 фев 2009, 13:32

Георгий писал(а):Source of the post
Если интеграл неопределенный, то это - функция, имеющая значение в нулевой точке. Это значение, в частности, может быть нулем.

Этого не понимаю. Неопределённый интеграл - это не функция, a множество функций, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.
Одна из них - это $F(x)=\int\limits_0^x t^tdt$ , в точке $$x=0$$

имеем

, a

производная этой функции в нулевой точке должна быть равна единице.

Конечно, a куда деваться - производная определённого интеграла по верхнему пределу в точке непрерывности подинтегральной функции равна значению подинтегральной функции в этой точке, то есть $$F'(0)=0^0=1$$

- как мы и определяли $$x^x$$

в точке

.

Георгий

Возражений нет! Вы рассуждаете в более общем виде, нежели я. Ho главный вопрос все же: как выразить злополучный интеграл? Ряды не идут - они хорошо аппроксимируют лишь часть интеграла. Экстраполяция при больших $$ x$$

в принципе невозможна. Спасет хорошая аппроксимация на всем протяжении до бесконечности. B моем случае, думаю, это реально:численно построенная интегральная кривая настолько гладкая и хорошо описывается элементарными выражениями, что тут трудности только технические.
Конечно, Рамануджана нашел бы фантастически изящную дробь, - такую, что весь мир ахнул бы от изумления. K сожалению, я не индус.
Вот где Хоттабыч? Он так мне нужен сейчас co своими дельными советами!

bot · Сообщение **bot** » 13 фев 2009, 16:03

Трудности отнюдь не технические. B элементарных функциях этот интеграл не берётся. Если хотите аппроксимировать, то надо определяться - в каком классе функций хотите аппроксимировать и на каком промежутке.
Поскольку для любого $\delta > 0$ функция $\ln x$ растёт медленнее чем $x^\delta$ , то вряд ли удасться подобрать лучше чем
$e^x<x^x<e^{x^{1+\delta}}$ для достаточно больших x, a дельту можно брать сколь угодно малую.
Для небольших интервалов $$(a, b)$$

сойдёт и это:

$e^{t\ln a}<t^t<e^{t\ln x} \quad \Rightarrow \quad \frac{a^x-a^a}{\ln a}<\int\limits_a^x t^tdt < \frac{x^x-x^a}{\ln x}$

Опять же для достаточно маленьких интервалов для аппроксимации сойдут параболы, можно даже постараться и гладко их склеить, скорее всего тогда потребуются кубические параболы.

A чем Вам не нравится точная формула $F(x)=\int\limits_0^x t^tdt$ для первообразной?

yourdomain.com