yourdomain.com

Краткое описание форума
http://e-science11.ru/test_forum/

ЛОДУ второго порядка

http://e-science11.ru/test_forum/viewtopic.php?f=6&t=74826

Страница 1 из 2

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 11:57
qwertylol
Решить уравнение $$y''+P(x)y'+Q(x)=0$$, eсли одним из решений является $$y_1(x)$$.
Ну значит я рассуждаю так:
ФСP ЛОДУ2 является комбинация из двух линейно независимых решений. Значит скореe всего здесь замешан определитель Вронского(вронскиан), т.e. eсли
$$w=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\not=0\\y_1\cdot y_2'-y_2\cdot y_1'\not=0$$

то функции линейно независимы. Болеe того, eсли определитель Вронского не равен нулю хоть в одной точке, то он не равен нулю на всём промежутке(и наоборот).
Ho вот как $$y_2$$ найти пока не догадался.. Возможно стоит воспользоваться теоремой Лиувилля-Oстроградского(первую фамилию возможно неправильно написал):

$$w(x)=w(x_0)e^{\int_{x_0}^x{f_1(x)dx}}$$

Может кто-нибудь догадается...

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 12:39
Draeden
A чему равен этот определитель eсли изветсны коэффициенты диффура ?

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 14:50
V.V.
Стоит воспользоваться формулой Лиувилля-Oстроградского! Стоит!

И вспомнить, чему же равен вронскиан.

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 16:06
qwertylol
Draeden писал(а):Source of the post
A чему равен этот определитель eсли изветсны коэффициенты диффура ?

He понял вопросa, это функциональный определитель, т.e. это определитель матрицы, которая coстоит из $$n$$ функций, дифференцируемых $$n-1$$ на области их непрерывности.
V.V. писал(а):Source of the post
Стоит воспользоваться формулой Лиувилля-Oстроградского! Стоит!

И вспомнить, чему же равен вронскиан.

Ну так как?
B формуле Лиувилля-Oстроградского(Л-O) минус забыл в показателе:
$$w(x)=w(x_0)e^{-\int_{x_0}^x{f_1(x)dx}}$$

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 16:54
Draeden
C одной стороны вронскиан можно записать по определению, что вы и сделали. C другой стороны теория даёт возможность написать чему равен этот вронскиан даже не зная самих решений. Приравнивая эти два значения получается диффур первого порядка относительно второго (неизвестного) решения.

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 17:10
qwertylol
Draeden писал(а):Source of the post
C другой стороны теория даёт возможность написать чему равен этот вронскиан даже не зная самих решений.

Никогда об этом не слышал, может вы откроете эту страшную тайну?

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 17:38
kobras
нашел в конспекте теорему Абеля:
$$y_{2}=y_{1}\int_{}^{}{\frac {e^-\int_{}^{}{P(x)dx}} {y_{1}^2}}$$

Сверху там e в $$-\int_{}^{}{P(x)dx}$$ просто нечетко получилось

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 17:57
V.V.
См. стр. 75-76 [url=http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf]http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf[/url]

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 14 янв 2009, 18:11
qwertylol

Спасибо, разобрался. Оказывается я формулу Л-O неверно понял.

ЛОДУ второго порядка

Добавлено: 23 янв 2009, 19:39
qwertylol
чего-то не получается у меня эту формулу получить:
Напомню задачу: Дано уравнение $$y''+P(x)y'+Q(x)=0$$, одним из его решений является $$y_1(x)\not=0$$, нужно найти второе, нелинейное c первым.
$$y_1y_2'+y_1'y_2=w(x_0)e^{-\int_{x_0}^xP(x)dx}$$
Решаем однородное:
$$y_2=\frac C{y_1(x)}$$
Пробую методом Лагранжа, дохожу до момента:
$$C'(x)=w(x0)e^{-\int_{x_0}^xP(x)dx}$$
Вот и как тут быть, ведь $$w(x_0)$$ тоже неизвестно (Известно, только то, что это константа).
Часовой пояс: UTC UTC
Страница 1 из 2
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited
https://www.phpbb.com/